Question

直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，AB=26cm，CD=24cm，AD=8cm，有两个动点P和Q，点P在CD上，由D向C以每秒1cm的速度移动，点Q在AB上由B向A以每秒3cm的速度移动．
①问时间t经过几秒时，BCPQ为平行四边形？
②问时间t经过几秒时，BCPQ为等腰梯形？
③PQ与以AD为直径的圆O相切？相离？相交？

Answer 1

解：①∵四边形BCPQ是平行四边形，
∴BQ=CP，
∴24-t=3t，
t=6，
答：时间t经过6秒时，BCPQ为平行四边形．

②解：过C作CN⊥AB于N，过P作PM⊥BQ于M，
即∠BNC=∠PMQ=90°，CN∥PM，
∵AB∥CD，
∴四边形CNMP是平行四边形，
∴CN=PM，CP=MN，
∵四边形BCPQ是等腰梯形，
∴BC=PQ，∠B=∠BQP，
∵在△BCN和△QPM中
，
∴△BCN≌△QPM，
∴BN=MQ=26-24=2，
即2+2+24-t=3t，
t=7，
答：时间t经过7秒时，BCPQ为等腰梯形．

③解：过P作PE⊥AB于E，

∵直角梯形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
∴BA切⊙O于A，CD切⊙O于D，
设PQ切⊙O于F，
∴由切线长定理得：QA=QF=26-3t，DP=PF=t
则PQ=26-3t+t=26-2t，
∵∠A=∠D=∠PEA=90°，
∴四边形PEAD是矩形，
∴AD=PE=8，AE=PD=t，
∴QE=26-3t-t=26-4t，
在Rt△PEQ中，由勾股定理得：PE²+QE²=PQ²，
即8²+（26-4t）²=（26-2t）²，
解得：t₁=8，t₂=．
∴当t是8秒或秒时，PQ与以AD为直径的圆O相切；当t＜秒或t＞8秒时，PQ与以AD为直径的圆O相交；当秒＜t＜8秒时，PQ与以AD为直径的圆O相离．
分析：①根据平行四边形性质得出BQ=CP，代入得出方程24-t=3t，求出即可；
②过C作CN⊥AB于N，过P作PM⊥BQ于M，得出矩形CPMN，推出CN=PM，CP=MN，求出BN=MQ=2，根据BN+MN+QM=3t，代入求出即可；
③过P作PE⊥AB于E，得出矩形ADPE，推出AE=DP，AD=PE，根据切线长定理得长PQ=QA+PD=26-2t，在Rt△PEQ中，根据勾股定理得出一个关于t的方程，求出方程的解即可．
点评：本题考查了切线的性质和判定，切线长定理，勾股定理，平行四边形的性质，等腰梯形的性质，矩形的性质和判定，直线与圆的位置关系等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，难度偏大．