题目内容
(2013•湖州模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-
x2+bx+c过点A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点,M是线段AP的中点,将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB.过B作x轴的垂线、过点A作y轴的垂线,两直线相交于点D.
(1)求b,c的值.
(2)当t为何值时,点D落在抛物线上.
(3)是否存在t,使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似?若存在,求此时t的值;若不存在,请说明理由.
(4)如图2,连结AC,在点P运动过程中,若以PB为直径的圆与直线AC相切,直接写出此时t的值.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201305/28/f83a459f.png)
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(1)求b,c的值.
(2)当t为何值时,点D落在抛物线上.
(3)是否存在t,使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似?若存在,求此时t的值;若不存在,请说明理由.
(4)如图2,连结AC,在点P运动过程中,若以PB为直径的圆与直线AC相切,直接写出此时t的值.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201305/28/f83a459f.png)
分析:(1)将A、C两点坐标代入抛物线y=-
x2+bx+c,运用待定系数法即可求出b,c的值;
(2)先由两角对应相等的两三角形相似证明△AOP∽△PEB,再根据相似三角形对应边的比相等得到
=
=2,则PE=2,进而求出点D的坐标,然后将D(t+2,4)代入(1)中求出的抛物线的解析式,即可求出t的值;
(3)由于t=8时,点B与点D重合,△ABD不存在,所以分0<t<8和t>8两种情况进行讨论,在每一种情况下,当以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似时,又分两种情况:△POA∽△ADB与△POA∽△BDA,根据相似三角形对应边的比相等列出比例式,求解即可;
(4)设BP的中点为N,由P(t,0),B(t+2,
),根据中点坐标公式得出N(t+1,
),由勾股定理求出AP=
.过点N作FN∥AC交y轴于点F,过点F作FH⊥AC于点H.运用待定系数法求出AC的解析式为y=-
x+4,根据解析式平移的规律设FN的解析式为y=-
x+m,将N(t+1,
)代入,得出m=
+
.由△AFH∽△ACO,根据相似三角形对应边的比相等得出FH=2×
,又当以PB为直径的圆与直线AC相切时,FH=
BP=
AP,列出方程2×
=
,解方程即可求出t的值.
1 |
6 |
(2)先由两角对应相等的两三角形相似证明△AOP∽△PEB,再根据相似三角形对应边的比相等得到
AO |
PE |
AP |
PB |
(3)由于t=8时,点B与点D重合,△ABD不存在,所以分0<t<8和t>8两种情况进行讨论,在每一种情况下,当以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似时,又分两种情况:△POA∽△ADB与△POA∽△BDA,根据相似三角形对应边的比相等列出比例式,求解即可;
(4)设BP的中点为N,由P(t,0),B(t+2,
t |
2 |
t |
4 |
16+t2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
t |
4 |
3t |
4 |
1 |
2 |
4-m | ||
|
1 |
2 |
1 |
4 |
4-m | ||
|
1 |
4 |
16+t2 |
解答:解:(1)∵抛物线y=-
x2+bx+c过点A(0,4)和C(8,0),
∴
,
解得
.
故所求b,c的值分别为
,4;
(2)∵∠AOP=∠PEB=90°,∠OAP=∠EPB=90°-∠APO,
∴△AOP∽△PEB且相似比为
=
=2,
∵AO=4,
∴PE=2,OE=OP+PE=t+2,
又∵DE=OA=4,
∴点D的坐标为(t+2,4),
∴点D落在抛物线上时,有-
(t+2)2+
(t+2)+4=4,
解得t=3或t=-2,
∵t>0,
∴t=3.
故当t为3时,点D落在抛物线上;
(3)存在t,能够使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似,理由如下:
①当0<t<8时,如图1.
若△POA∽△ADB,则PO:AD=AO:BD,
即t:(t+2)=4:(4-
t),
整理,得t2+16=0,
∴t无解;
若△POA∽△BDA,同理,解得t=-2±2
(负值舍去);
②当t>8时,如图3.
若△POA∽△ADB,则PO:AD=AO:BD,
即t:(t+2)=4:(
t-4),
解得t=8±4
(负值舍去);
若△POA∽△BDA,同理,解得t无解;
综上可知,当t=-2+2
或8+4
时,以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似;
(4)如图2.∵A(0,4),C(8,0),
∴AC的解析式为y=-
x+4.
设BP的中点为N,由P(t,0),B(t+2,
),可得N(t+1,
),AP=
.
过点N作FN∥AC交y轴于点F,过点F作FH⊥AC于点H,
设直线FN的解析式为y=-
x+m,将N(t+1,
)代入,
可得-
(t+1)+m=
,即m=
+
.
由△AFH∽△ACO,可得
=
,
∵AF=4-m,
∴
=
,
∴FH=2×
,
当以PB为直径的圆与直线AC相切时,FH=
BP=
AP,
∴2×
=
,
将m=
+
代入,整理得:31t2-336t+704=0,
解得:t=8,t=
.
故以PB为直径的圆与直线AC相切时,t的值为8或
.
1 |
6 |
∴
|
解得
|
故所求b,c的值分别为
5 |
6 |
(2)∵∠AOP=∠PEB=90°,∠OAP=∠EPB=90°-∠APO,
∴△AOP∽△PEB且相似比为
AO |
PE |
AP |
PB |
∵AO=4,
∴PE=2,OE=OP+PE=t+2,
又∵DE=OA=4,
∴点D的坐标为(t+2,4),
∴点D落在抛物线上时,有-
1 |
6 |
5 |
6 |
解得t=3或t=-2,
∵t>0,
∴t=3.
故当t为3时,点D落在抛物线上;
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201305/28/f83a459f.png)
①当0<t<8时,如图1.
若△POA∽△ADB,则PO:AD=AO:BD,
即t:(t+2)=4:(4-
1 |
2 |
整理,得t2+16=0,
∴t无解;
若△POA∽△BDA,同理,解得t=-2±2
5 |
②当t>8时,如图3.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201305/76/da977008.png)
即t:(t+2)=4:(
1 |
2 |
解得t=8±4
5 |
若△POA∽△BDA,同理,解得t无解;
综上可知,当t=-2+2
5 |
5 |
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201305/76/cb5d56c6.png)
∴AC的解析式为y=-
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2 |
设BP的中点为N,由P(t,0),B(t+2,
t |
2 |
t |
4 |
16+t2 |
过点N作FN∥AC交y轴于点F,过点F作FH⊥AC于点H,
设直线FN的解析式为y=-
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t |
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可得-
1 |
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t |
4 |
3t |
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由△AFH∽△ACO,可得
AF |
AC |
FH |
CO |
∵AF=4-m,
∴
4-m | ||
4
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FH |
8 |
∴FH=2×
4-m | ||
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当以PB为直径的圆与直线AC相切时,FH=
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2 |
1 |
4 |
∴2×
4-m | ||
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16+t2 |
将m=
3t |
4 |
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2 |
解得:t=8,t=
88 |
31 |
故以PB为直径的圆与直线AC相切时,t的值为8或
88 |
31 |
点评:本题考查了运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式,二次函数图象上点的坐标特征,旋转的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,切线的性质等知识,综合性较强,难度较大.由相似三角形的判定与性质求出点D的坐标是解决(2)小题的关键;进行分类讨论是解决(3)小题的关键;根据切线及旋转的性质得出FH=
BP=
AP解决(4)小题的关键.
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![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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