Question

【题目】若二次函数的图像记为，其顶点为，二次函数的图像记为，其顶点为，且满足点在上，点在上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．

（1）写出二次函数的一个“伴侣二次函数”；

（2）设二次函数与轴的交点为，求以点为顶点的二次函数的“伴侣二次函数”；

（3）若二次函数与其“伴侣二次函数”的顶点不重合，试求该“伴侣二次函数”的二次项系数.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）-2

【解析】试题分析：（1）根据解析式求得顶点坐标和经过的任意点的坐标，根据“伴侣二次函数”定义，设关系式为y=a（x-2）2+4，代入顶点坐标，即可求得系数a，可得答案；
（2）令x=0，则y=x2-2x+3=3，得到与y轴的交点坐标，然后求得顶点坐标，然后根据“伴侣二次函数”的定义，可求解；
（3）根据“伴侣二次函数”的顶点在对方的图象上，列出关系式，进而得出ah2=-2h2，可得a=-2．

试题解析：（1）∵y=x2，
∴顶点坐标为（0，0）且经过点（2，4）．
设以（2，4）为顶点且经过（0，0）的抛物线的函数关系式为y=a（x-2）2+4，
将x=0，y=0代入y=a（x-2）2+4，解得a=-1．
∴二次函数y=x2的一个“伴侣二次函数”为y=-（x-2）2+4；
（2）令x=0，则y=x2-2x+3=3，
所以二次函数y=x2-2x+3与y轴的交点P坐标为（0，3）；
∵y=x2-2x+3=（x-1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2）．
设以（0，3）为顶点且经过（1，2）的抛物线的函数关系式为y=ax2+3，
将x=1，y=2代入y=ax2+3，解得a=-1．
∴以点P为顶点的二次函数y=x2-2x+3的“伴侣二次函数”为y=-x2+3；
（3）y=2x2-1，其顶点为（0，-1），y=a2（x+h）2+k，其顶点为（-h，k），
∵二次函数y1=a1x2+b1x+c1与其伴侣二次函数y2=a2x2+b2x+c2的顶点不重合，
∴h≠0时k≠-1，
根据“伴侣二次函数”定义可得-1=ah2+k，k=2h2-1，
∴ah2=-2h2
∴a=-2，
∴该“伴侣二次函数”的二次项系数为-2．