Question

已知，如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD。以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30⁰，∠AED=90⁰。

（1）求△AED的周长；

（2）若△AED以每秒2个长度单位的速度沿DC向右平行移动，得到△A₀E₀D₀，当A₀D₀与BC重合时停止移动。设移动时间为t秒，△A₀E₀D₀与△BDC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转，在旋转过程中，B的对应点为B₁，E的对应点为E₁，设直线B₁E₁与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q。是否存在这样的，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）在平行四边形ABCD中， BC=6，∴AD= BC=6。

∵在Rt△AED中，∠EAD=30⁰，∠AED=90⁰，∴DE=3，AE=。

∴△AED的周长为。

（2）S与t之间的函数关系式为。

（3）存在。分三种情况讨论：

①若BP=BQ，如图，则

∵∠PBQ=30⁰，

∴∠BQP=∠BPQ=75⁰。

∴∠E₁QC=∠BQP=75⁰。

∴∠E₁CQ=90⁰－75⁰=15⁰。

∴。

②若PQ=BQ，如图，则

∵∠PBQ=30⁰，

∴∠BQP=120⁰。

∴∠B₁QC=∠BQP=120⁰。

∴∠B₁CQ=180⁰－120⁰－30⁰=30⁰。

∴。

③若PQ=BP，如图，则

∵∠CBE =30⁰，

∴∠PBQ=30⁰。

∴∠BQP=∠PBQ=30⁰。

∴∠E₁CQ=90⁰－30⁰=60⁰。

∴。

根据等腰三角形三线合一的性质，此时B、P、Q三点重合。

∴此时不存在这样的，使△BPQ为等腰三角形。

综上所述，存在这样的，使△BPQ为等腰三角形，或。

【解析】（1）根据平行四边形对边相等可得AD= BC=6，在Rt△AED中根据含30度角直角三角形的性质可得DE=3，AE=，从而可求△AED的周长。

（2）如图，当△AED移动到点E₀在BC边上时，易得△CD0E0是等边三角形，故在D0C=3，△AED移动的距离DD0=12－3=9，从而由速度为每秒2个长度单位，得△AED移动的时间为。

当A₀D₀与BC重合时，△AED移动的距离为DC=12，由速度为每秒2个长度单位，得△AED移动的时间为。

∴当时，。

当时，如图，，

过点D0作在D₀H⊥BC于点H，过点N作NG⊥AB于点G，则

DD₀=2t，D₀C=A₀B=BN=，∴。

∴。

当时，0，满足上式。

综上所述，S与t之间的函数关系式为。

（3）分BP=BQ，PQ=BQ，PQ=BP三种情况讨论即可。