题目内容

已知,如图①,在平行四边形ABCD中,AB=12,BC=6,AD⊥BD。以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED,∠EAD=300,∠AED=900

(1)求△AED的周长;

(2)若△AED以每秒2个长度单位的速度沿DC向右平行移动,得到△A0E0D0,当A0D0与BC重合时停止移动。设移动时间为t秒,△A0E0D0与△BDC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;

(3)如图②,在(2)中,当△AED停止移动后得到△BEC,将△BEC绕点C按顺时针方向旋转,在旋转过程中,B的对应点为B1,E的对应点为E1,设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q。是否存在这样的,使△BPQ为等腰三角形?若存在,求出的度数;若不存在,请说明理由。

 

【答案】

解:(1)在平行四边形ABCD中, BC=6,∴AD= BC=6。

∵在Rt△AED中,∠EAD=300,∠AED=900,∴DE=3,AE=

∴△AED的周长为

(2)S与t之间的函数关系式为

(3)存在。分三种情况讨论:

①若BP=BQ,如图,则

∵∠PBQ=300

∴∠BQP=∠BPQ=750

∴∠E1QC=∠BQP=750

∴∠E1CQ=900-750=150

②若PQ=BQ,如图,则

∵∠PBQ=300

∴∠BQP=1200

∴∠B1QC=∠BQP=1200

∴∠B1CQ=1800-1200-300=300

③若PQ=BP,如图,则

∵∠CBE =300

∴∠PBQ=300

∴∠BQP=∠PBQ=300

∴∠E1CQ=900-300=600

根据等腰三角形三线合一的性质,此时B、P、Q三点重合。

∴此时不存在这样的,使△BPQ为等腰三角形。

综上所述,存在这样的,使△BPQ为等腰三角形,

【解析】(1)根据平行四边形对边相等可得AD= BC=6,在Rt△AED中根据含30度角直角三角形的性质可得DE=3,AE=,从而可求△AED的周长。

(2)如图,当△AED移动到点E0在BC边上时,易得△CD0E0是等边三角形,故在D0C=3,△AED移动的距离DD0=12-3=9,从而由速度为每秒2个长度单位,得△AED移动的时间为

当A0D0与BC重合时,△AED移动的距离为DC=12,由速度为每秒2个长度单位,得△AED移动的时间为

∴当时,

时,如图,

过点D0作在D0H⊥BC于点H,过点N作NG⊥AB于点G,则

DD0=2t,D0C=A0B=BN=,∴

时,0,满足上式。

综上所述,S与t之间的函数关系式为

(3)分BP=BQ,PQ=BQ,PQ=BP三种情况讨论即可。

 

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