题目内容

已知，如图1，在平面直角坐标系内，直线l₁：y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B，与直线l₂： $数学公式$ 相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，平行于y轴的直线x=1交直线l₁于点E，交直线l₂于点D，平行于y轴的直x=a交直线l₁于点M，交直线l₂于点N，若MN=2ED，求a的值；
（3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO=135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．

解：（1）联立两直线解析式得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
则C坐标为（3，1）；
（2）如图1所示，将x=1代入y=-x+4得：y=-1+4=3；代入y= $\text{[math]}$ x得：y= $\text{[math]}$ ，
∴DE=OE-OD=3- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴MN=2DE= $\text{[math]}$ ，
将x=a代入y=-x+4得：y=-a+4；代入y= $\text{[math]}$ x得：y= $\text{[math]}$ a，
∴MN=|-a+4- $\text{[math]}$ a|= $\text{[math]}$ ，
解得：a=-1或a=7，
则a的值为-1或7；
（3）过O作OQ⊥OP，交BP的延长线于点Q，可得∠POQ=90°，
∵∠BPO=135°，
∴∠OPQ=45°，
∴∠Q=∠OPQ=45°，
∴△POQ为等腰直角三角形，
∴OP=OQ，
∵∠AOB=∠POQ=90°，
∴∠AOB+∠BOP=∠POQ+∠POB，即∠AOP=∠BOQ，
∵OA=OB=4，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴△AOP∽△BOQ，
∴∠APO=∠BQO=45°，
∴∠APB=∠BPO-∠APO=90°，
则AP⊥BP．
分析：（1）联立两直线解析式得到方程组，求出方程组的解即可确定出C的坐标；
（2）将x=1代入两直线方程求出对应y的值，确定出D与E的纵坐标，即OD与OE的长，由OE-OD求出DE的长，根据MN=2DE，求出MN的长，将x=a代入两直线方程，求出M与N对应的横坐标，相减的绝对值等于MN的长列出关于a的方程，求出方程的解即可求出a的值；
（3）AP⊥BP，理由为：过O作OQ⊥OP，交BP的延长线于点Q，由∠BPO为135°，得到∠OPQ为45°，又∠POQ为直角，可得出三角形OPQ为等腰直角三角形，再利用两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似得到三角形AOP与三角形BOQ相似，由相似三角形的对应角相等得到∠APO=∠BQO=45°，由∠BPO-∠APO得到∠APB为直角，即AP⊥BP．
点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，两直线的交点，一次函数与坐标轴的交点，以及坐标与图形性质，是一道中档题．