题目内容

【题目】如图1,抛物线与x轴相交于A、B两点(点A在点B的右侧),已知C(0,).连接AC.

(1)求直线AC的解析式.

(2)点P是x轴下方的抛物线上一动点,过点P作PEx轴交直线AC于点E,交x轴于点F,过点P作PGAE于点G,线段PG交x轴于点H.设l=EP﹣FH,求l的最大值.

(3)如图2,在(2)的条件下,点M是x轴上一动点,连接EM、PM,将EPM沿直线EM折叠为EP1M,连接AP,AP1.当APP1是等腰三角形时,试求出点M的坐标.

【答案】(1)y=﹣(2)当m=﹣2时,l最大=4(3)M1(3﹣8,0),M2(2,0),M3(﹣3﹣8,0),M4(﹣,0)

【解析】

试题分析:(1)先令y=0求抛物线与x轴交点坐标,利用待定系数法求直线AC的解析式;

(2)如图1中,设点P(m,m2+m﹣3),则E(m,﹣m+),构建关于x的二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题.

(3)如图2中,分四种情形讨论即可①当P1P=P1A时,②AP=AP2时,③当P3P=P3A时,④当P4P=PA时,画出图形,求出点M坐标即可.

试题解析:(1)当y=0时,x2+x﹣3=0,解得x1=﹣3,x2=2,

点A在点B的右侧,

A(2,0)、B(﹣3,0);

设直线AC的解析式为y=kx+b,

把A(2,0)、C(0,)代入得: 解得

直线AC的解析式为:y=﹣

(2)如图1中,在RtACO中,tanOAC==

∵∠FPH+PHF=90°,OAC+AHG=90°,PHF=AHG,

∴∠HPF=OAC

tanFPH=tanOAC=

tanFPH=

FH=×FP×=FP

设点P(m,m2+m﹣3),则E(m,﹣m+),

EP=﹣m2m+,FP=﹣m2m+3,

于是l=EP﹣FH=EP﹣FP=﹣m2﹣m+3,

0

l=﹣m2﹣m+3开口向下,对称轴x==﹣2,

点P是x轴下方的抛物线上一动点,

﹣3m2

在﹣3m2时,当m=﹣2时,l最大=4;

(3)如图2中,m=﹣2时,E(﹣2,3),P(﹣2,﹣2),

A(2,0),

EP=EA=5,

①当P1P=P1A时,AP中点K(0,﹣1),于是直线EK为y=﹣2x﹣1,

直线EK交x于I(﹣,0),EI=

过点M1作M1JEK于J,则EJ=EF=3,

IJ=﹣3,

∵△IEF∽△IM1J,

IM1=﹣3

M1(3﹣8,0),

②AP=AP2时,AEP≌△AEP2

∴∠AEP=AEP2

点M2与点A重合,

点M2(2,0).

③当P3P=P3A时,由EFM3∽△M1FE,得到EF2=FM3FM1

FM3=3+6,

点M3(﹣3﹣8,0),

④当P4P=PA时,作M4QEP4,设M4Q=M4F=x,

在RTP4QM4中,

P4Q2+QM42=FP42

22+x2=(4﹣x)2

x=

0M4=+2=

点M4(﹣,0).

综上所述点M1(3﹣8,0),M2(2,0),M3(﹣3﹣8,0),M4(﹣,0).

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