题目内容
（2008•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-
x-
与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2-
x+c（a≠0）经过A，B，C三点．（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）抛物线解析式中有两个待定系数a，c，根据直线AC解析式求点A、C坐标，代入抛物线解析式即可；
（2）分析不难发现，△ABP的直角顶点只可能是P，根据已知条件可证AC2+BC2=AB2，故点C满足题意，根据抛物线的对称性，点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意；
（3）由于B，F是定点，BF的长一定，实际上就是求BM+FM最小，找出点B关于直线AC的对称点B'，连接B'F，交AC于点M，点M即为所求，由（2）可知，BC⊥AC，延长BC到B'，使BC=B'C，利用中位线的性质可得B'的坐标，从而可求直线B'F的解析式，再与直线AC的解析式联立，可求M点坐标．
解答：
解：（1）∵直线y=-
x-
与x轴交于点A，与y轴交于点C
∴点A（-1，0），C（0，-
）
∵点A，C都在抛物线上，
∴
∴
∴抛物线的解析式为y=
x2-
x-
∴顶点F（1，-
）．
（2）存在：
p1（0，-
），p2（2，-
）．
（3）存在
理由：
解法一：
延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′F交直线AC于点M，则点M就是所求的点，
∵过点B′作B′H⊥AB于点H，
∵B点在抛物线y=
x2-
x-
上，
∴B（3，0），
在Rt△BOC中，tan∠OBC=
∴∠OBC=30°，BC=2
在Rt△B′BH中，B′H=
BB′=2
BH=
B′H=6，∴OH=3，
∴B′（-3，-2
）．
设直线B′F的解析式为y=kx+b，
∴
，
解得
，
∴y=
．
，
解得
，
∴M（
）
∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（
）．
解法二：
过点F作AC的垂线交y轴于点H，则点H为点F关于直线AC的对称点，连接BH交AC于点M，则点M
即为所求．
过点F作FG⊥y轴于点G，则OB∥FG，BC∥FH，
∴∠BOC=∠FGH=90°，∠BCO=∠FHG
∴∠HFG=∠CBO
同方法一可求得B（3，0）
在Rt△BOC中，tan∠OBC=
∴∠OBC=30°，可求得GH=GC=
∴GF为线段CH的垂直平分线，可证得△CFH为等边三角形
∴AC垂直平分FH
即点H为点F关于AC对称点，
∴H（0，-
）
设直线BH的解析式为y=kx+b，由题意得，
，
解得
，
∴y=
，
，
解得
，
∴M（
），
∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（
）．
点评：考查代数几何的综合运用能力，体现数学知识的内在联系和不可分割的特点．
（2）分析不难发现，△ABP的直角顶点只可能是P，根据已知条件可证AC2+BC2=AB2，故点C满足题意，根据抛物线的对称性，点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意；
（3）由于B，F是定点，BF的长一定，实际上就是求BM+FM最小，找出点B关于直线AC的对称点B'，连接B'F，交AC于点M，点M即为所求，由（2）可知，BC⊥AC，延长BC到B'，使BC=B'C，利用中位线的性质可得B'的坐标，从而可求直线B'F的解析式，再与直线AC的解析式联立，可求M点坐标．
解答：
解：（1）∵直线y=-x-与x轴交于点A，与y轴交于点C∴点A（-1，0），C（0，-
）∵点A，C都在抛物线上，
∴
∴
∴抛物线的解析式为y=
x2-x-∴顶点F（1，-
）．（2）存在：
p1（0，-
），p2（2，-）．（3）存在
理由：
解法一：
延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′F交直线AC于点M，则点M就是所求的点，
∵过点B′作B′H⊥AB于点H，
∵B点在抛物线y=
x2-x-上，∴B（3，0），
在Rt△BOC中，tan∠OBC=
∴∠OBC=30°，BC=2
在Rt△B′BH中，B′H=
BB′=2BH=
B′H=6，∴OH=3，∴B′（-3，-2
）．设直线B′F的解析式为y=kx+b，
∴
，解得
，∴y=
．，解得
，∴M（
）∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（
）．解法二：
过点F作AC的垂线交y轴于点H，则点H为点F关于直线AC的对称点，连接BH交AC于点M，则点M
即为所求．
过点F作FG⊥y轴于点G，则OB∥FG，BC∥FH，
∴∠BOC=∠FGH=90°，∠BCO=∠FHG
∴∠HFG=∠CBO
同方法一可求得B（3，0）
在Rt△BOC中，tan∠OBC=
∴∠OBC=30°，可求得GH=GC=
∴GF为线段CH的垂直平分线，可证得△CFH为等边三角形
∴AC垂直平分FH
即点H为点F关于AC对称点，
∴H（0，-
）设直线BH的解析式为y=kx+b，由题意得，
，解得
，∴y=
，，解得
，∴M（
），∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（
）．点评：考查代数几何的综合运用能力，体现数学知识的内在联系和不可分割的特点．
练习册系列答案
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x+
与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P有 个．
x-
与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2-
x+c（a≠0）经过A，B，C三点．
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与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P有 个．
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与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2-
x+c（a≠0）经过A，B，C三点．