题目内容
【题目】我们规定:平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d,点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D,定义点A到图形G的距离跨度为R=D﹣d.
(1)①如图1,在平面直角坐标系xOy中,图形G1为以O为圆心,2为半径的圆,直接写出以下各点到图形G1的距离跨度:
A(﹣1,0)的距离跨度;
B( ,﹣
)的距离跨度;
C(﹣3,2)的距离跨度;
②根据①中的结果,猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是 .
(2)如图2,在平面直角坐标系xOy中,图形G2为以C(1,0)为圆心,2为半径的圆,直线y=k(x+1)上存在到G2的距离跨度为2的点,求k的取值范围.
(3)如图3,在平面直角坐标系xOy中,射线OA:y= x(x≥0),圆C是以3为半径的圆,且圆心C在x轴上运动,若射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2,直接写出圆心C的横坐标xc的取值范围.
【答案】
(1)1;3;2;圆
(2)解:设直线y=k(x+1)上存在到G2的距离跨度为2的点P(m,k(m+1)),
∴OP= ,
由(1)②知,圆内一点到图形圆的跨度是此点到圆心距离的2倍,圆外一点到图形圆的跨度是此圆的直径,
∵图形G2为以C(1,0)为圆心,2为半径的圆,到G2的距离跨度为2的点,
∴距离跨度小于图形G2的圆的直径4,
∴点P在图形G2⊙C内部,
∴R=2OP=2 ,
∵直线y=k(x+1)上存在到G2的距离跨度为2的点P,
∴2 =2,
∴(k2+1)m2+2(k2﹣1)m+k2=0①,
∵存在点P,
∴方程①有实数根,
∴△=4(k2﹣1)2﹣4×(k2+1)k2=﹣9k2+4≥0,
∴﹣
(3)解:同(2)的方法得出,射线OA上存在点P到圆C的距离跨度为2时,点P在圆内,
设点P(n, n),(n>0),
∵圆心C(x2,0),∴PC= =
×2=1,
∴ n2﹣2x2n+x22﹣1=0,
∴射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2,
∴ ,
∴1≤x2≤2
【解析】解:(1)如图1,
①∵图形G1为以O为圆心,2为半径的圆,∴直径为4,
∵A(﹣1,0),OA=1,
∴点A到⊙O的最小距离d=MA=OM﹣OA=1,
点A到⊙O的最大距离D=AN=ON+OM=2+1=3,
∴点A到图形G1的距离跨度R=D﹣d=3﹣1=2;
∵B( ,﹣
),∴OB=
=1,
∴点B到⊙O的最小距离d=BG=OG﹣OB=1,
点B到⊙O的最大距离D=BF=FO+OB=2+1=3,
∴点B到图形G1的距离跨度R=D﹣d=3﹣1=2;
∵C(﹣3,2),
∴OC= =
,
∴点C到⊙O的最小距离d=CD=OC﹣OD= ﹣2,
点C到⊙O的最大距离D=CE=OC+OE=2+
∴点C到图形G1的距离跨度R=D﹣d=2+ ﹣(
﹣2)=4;
∴圆,
理由:①设⊙O内一点P的坐标为(x,y),
∴OP= ,
∴点P到⊙O的最小距离d=2﹣OP,点P到⊙O的最大距离D=2+OP,
∴点P到图形G1的距离跨度R=D﹣d=2+OP﹣(2﹣OP)=2OP;
∵图形G1的距离跨度为2,
∴2OP=2,
∴OP=1,
∴ =1,
∴x2+y2=1,
即:到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心,1为半径的圆.
②设⊙O外一点Q的坐标为(x,y),
∴OQ= ,
∴点Q到⊙O的最小距离d=OQ﹣2,点P到⊙O的最大距离D=OQ+2,
∴点P到图形G1的距离跨度R=D﹣d=OQ+2﹣(OQ﹣2)=4;
∵图形G1的距离跨度为2,
∴此种情况不存在,
所以,到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心,1为半径的圆.
故答案为:圆;
(1)①先根据跨度的定义先确定出点到圆的最小距离d和最大距离D,即可得出跨度;②分点在圆内和圆外两种情况同①的方法计算,判定得出结论;(2)先判断出存在的点P必在圆O内,设出点P的坐标,利用点P到圆心O的距离的2倍是点P到圆的距离跨度,建立方程,由于存在距离跨度是2的点,此方程有解即可得出k的范围.(3)同(2)方法判断出存在的点P在圆C内部,由于在射线OA上存在距离跨度是2的点,同(2)的方法建立方程,用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式即可确定出范围.
