题目内容
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,-3),B(3,-3),C(-1,5),顶点为M点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)试判断抛物线上是否存在一点P,使∠POM=90°.若不存在,说明理由;若存在,求出P点的坐标.
(3)试判断抛物线上是否存在一点K,使∠OMK=90°,若不存在,说明理由;若存在,求出K点的坐标.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)试判断抛物线上是否存在一点P,使∠POM=90°.若不存在,说明理由;若存在,求出P点的坐标.
(3)试判断抛物线上是否存在一点K,使∠OMK=90°,若不存在,说明理由;若存在,求出K点的坐标.
(1)根据题意,得
,解得
,
∴抛物线的解析式为y=x2-4x;
(2)抛物线上存在一点P,使∠POM=90?.
x=-
=-
=2,y=
=
=-4,
∴顶点M的坐标为(2,-4),
设抛物线上存在一点P,满足OP⊥OM,其坐标为(a,a2-4a),
过P点作PE⊥y轴,垂足为E;过M点作MF⊥y轴,垂足为F.
则∠POE+∠MOF=90?,∠POE+∠EPO=90?.
∴∠EPO=∠FOM.
∵∠OEP=∠MFO=90?,
∴Rt△OEP∽Rt△MFO.
∴OE:MF=EP:OF.
即(a2-4a):2=a:4,
解得a1=0(舍去),a2=
,
∴P点的坐标为(
,
);
(3)过顶点M作MN⊥OM,交y轴于点N.则∠FMN+∠OMF=90?.
∵∠MOF+∠OMF=90?,
∴∠MOF=∠FMN.
又∵∠OFM=∠MFN=90?,
∴△OFM∽△MFN.
∴OF:MF=MF:FN.即4:2=2:FN.∴FN=1.
∴点N的坐标为(0,-5).
设过点M,N的直线的解析式为y=kx+b,则
,
解得
,∴直线的解析式为y=
x-5,
联立
得x2-
x+5=0,解得x1=2,x2=
,
∴直线MN与抛物线有两个交点(其中一点为顶点M).
另一个交点K的坐标为(
,-
),
∴抛物线上必存在一点K,使∠OMK=90?.坐标为(
,-
).
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∴抛物线的解析式为y=x2-4x;
(2)抛物线上存在一点P,使∠POM=90?.
x=-
b |
2a |
-4 |
2 |
4ac-b2 |
4a |
-16 |
4 |
∴顶点M的坐标为(2,-4),
设抛物线上存在一点P,满足OP⊥OM,其坐标为(a,a2-4a),
过P点作PE⊥y轴,垂足为E;过M点作MF⊥y轴,垂足为F.
则∠POE+∠MOF=90?,∠POE+∠EPO=90?.
∴∠EPO=∠FOM.
∵∠OEP=∠MFO=90?,
∴Rt△OEP∽Rt△MFO.
∴OE:MF=EP:OF.
即(a2-4a):2=a:4,
解得a1=0(舍去),a2=
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2 |
∴P点的坐标为(
9 |
2 |
9 |
4 |
(3)过顶点M作MN⊥OM,交y轴于点N.则∠FMN+∠OMF=90?.
∵∠MOF+∠OMF=90?,
∴∠MOF=∠FMN.
又∵∠OFM=∠MFN=90?,
∴△OFM∽△MFN.
∴OF:MF=MF:FN.即4:2=2:FN.∴FN=1.
∴点N的坐标为(0,-5).
设过点M,N的直线的解析式为y=kx+b,则
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解得
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1 |
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联立
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2 |
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2 |
∴直线MN与抛物线有两个交点(其中一点为顶点M).
另一个交点K的坐标为(
5 |
2 |
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∴抛物线上必存在一点K,使∠OMK=90?.坐标为(
5 |
2 |
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