Question

如图，P是半径为4的⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=60°．
求：夹在劣弧AB及，PB之间的阴影部分的面积．

Answer 1

分析：首先根据切线长定理，可求得∠AOP的度数与OA⊥PA，又由直角三角形的性质，可求得PA的长，然后求得△PAO与扇形AOC的面积，由S_阴影=2×（S_△PAO-S_扇形AOC）则可求得结果．

解答：解：连接PO与AO，
∵PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB=60°，
∴OA⊥PA，∠APO=

1

2

∠APB=30°，
∴∠AOP=60°，
∵⊙O半径为4，
∴OA=4，PO=8，
∴PA=

PO2-AO2

=4

3

，
∴S_△PAO=

1

2

AO•AP=

1

2

×4×4

3

=8

3

，
S_扇形AOC=

60•π×42

360

=

8π

3

，
∴S_阴影=2×（S_△PAO-S_扇形AOC）=2×（8

3

-

8π

3

）=16

3

-

16π

3

．

点评：此题考查了切线长定理，直角三角形的性质，扇形面积公式等知识．此题难度不大，解题的关键是熟记扇形的面积公式．