Question

（2007•莆田）如图，抛物线y=x²+mx+n（其中m，n为常数且m＞n）与y轴正半轴交于A点，它的对称轴交x轴正半轴于C点，抛物线的顶点为P，Rt△ABC的直角顶点B在对称轴上，当它绕点C按顺时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C．
（1）写出点A，P，A′的坐标（用含m，n的式子表示）；
（2）若直线BB'交y轴于E点，求证：线段B′E与AA′互相平分；
（3）若点A′在抛物线上且Rt△ABC的面积为1时，请求出抛物线的解析式并判断在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△AA′D为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的D点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线的解析式易得出A点和P点的坐标．根据旋转的性质可看得出AB=A′B′，BC=B′C，因此A′的横坐标为P点的横坐标与A点横坐标的和，而A′的纵坐标与P点的横坐标相等，由此可得出A′的坐标．
（2）在直角三角形BCB′中，BC=B′C，因此三角形BCB′是等腰直角三角形，即∠EBA=∠BB′C=45°，可得出EA=AB=A′B′，这样就证得了四边形AEA′B′是平行四边形，那么根据平行四边形的性质即可得出所证的条件．
（3）①根据A′在抛物线上，将A′的坐标代入抛物线的解析式中可得出一个关于m，n的等量关系．已知了三角形ABC的面积为1，可得出另一个关于m、n的等量关系，联立两式即可求出m、n的值，也就求出了A、A′的坐标．
②本题可分三种情况：
一：AD=A′D；二：AD=AA′；三：AA′=A′D；
可根据对称轴方程设出D点坐标，然后根据坐标系中两点间的距离公式来列等量关系进而可求出D的坐标．
解答：（1）解：令x=0，得到y=n，
∴A（0，n），且m＞n＞0
∵y=x²+mx+n=（x-m）²+m²+n，
∴P（m，m²+n）．
根据题意得，∠ABC=∠AOC=∠OCB=90°，
∴四边形ABCO是矩形．
∴BC=AO=B′C=n，AB=A′B′=OC=m．
∴A′点坐标为（m+n，m）．

（2）证明：连接EA′，AB′．
∵BC=B′C，∠BCB′=90°，
∴∠EB′O=45°．
∵∠EOB′=90°，
∴∠OEB′=45°，
∴OB′=OE=m+n．
∵AO=n，
∴EA=m，∵A′B′=m，
∴A′B′=EA（5分）
∵∠A′B′C=90°，
∴EA∥A′B′．
∴四边形AEA′B′是平行四边形．
∴对角线B′E与AA′互相平分．

（3）解：∵点A′（m+n，m）在抛物线上，
∴m=-（m+n）²+（m+n）m+n．
整理得：m-n=（m+n）（m-n）
∵m＞n，即m-n≠0．
∴m+n=3，即n=3-m．
∵AB•BC=1，即mn=1．
把n=3-m代入m•n=1
得，m（3-m）=1．
解得或（不合题意舍去）
∴抛物线解析式为y=-x²+x+1．
∴A'（3，2），A（0，1）．
结论：在抛物线的对称轴上存在点D，使△AA′D为等腰三角形．
点D的坐标为：D₁（2，1+），D₂（2，1-），D₃（2，5），D₄（2，-1），D₅（2，0）．
点评：本题为二次函数综合题，考查了图形的旋转变换、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．