Question

三月三，放风筝，小明制了一个风筝，如右图，且DE=DF，EH=FH，小明不用度量就知道∠DEH = ∠DFH。请你用所学过的数学知识证明之。（提示：可连结DH，证明 ΔDHE≌ΔDHF或连结EF，通过证明等腰三角形得证。）

Answer 1

可连结DH，证明 ΔDHE≌ΔDHF或连结EF，通过证明等腰三角形得证。

证： ⑴∵AD∥BC  ∴AD∥CE  又∵DE∥AC ∴四边形ACED是平行四边形

 ⑵过D点作DF⊥BE于F点  ∵DE∥AC，AC⊥BD ∴DE⊥BD，即∠BDE=90°                             由⑴知DE=AC，CE=AD=3 ∵四边形ABCD是等腰梯形   ∴AC=DB                    ∴DE=DB  ∴△DBE是等腰直角三角形，∴△DFB也是等腰直角三角形                        ∴DF=BF=(7－3)+3=5  (也可运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半“)                          注：⑴过对角线交点O作OF⊥BC于F，延长FO交AD于H，于是OH⊥AD由△ABC≌△DCB，得到△OBC是等腰直角三角形，OF=BC=      同理OH=AD=，高HF=⑵过A作AF⊥BC于F，过D作DH⊥BC于H，由△AFC≌△DHB   得高AF=FC=(AD+BC)=5⑶(进行计算)

解：（1）当CE＝4时，四边形ABED是等腰梯形。 理由如下：

          在BC上截取CE＝AD，连结DE、AE，∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形。

           ∴AE＝CD＝BD。 ∵BE＝12－4＝8＞4，即BE＞AD，  ∴AB不平行于DE，

           ∴四边形ABED是梯形。  ∵AE∥CD，CD＝BD，  ∴∠AEB＝∠C＝∠DBC。

          在△ABE和△DEB中，

            ∴△ABE≌△DEB （SAS）。  ∴AB＝DE，

          ∴四边形ABED是等腰梯形。 （也可不作辅助线，通过证明△ABD≌EDC而得AB＝DE）

      （2）当C＝6时，四边形ABD是直角梯形。   理由如下：  在BC上取一点，使C＝B＝＝6，连结D，  ∵BD＝CD  ∴D⊥BC   又∵B≠AD，AD∥B，  ∴AB不平行于D    ∴四边形ABD是直角梯形。