Question

（2002•连云港）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米．
（1）若入口E在边AB上，且与A、B等距离，求从入口E到出口C的最短路线的长；
（2）若线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，则D点在距A点多远处时，此水渠的造价最低，最低造价是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可知：E点是AB的中点，则连接CE，CE是AB边的中线，则根据直角三角形中中线是斜边的一半；只要求得斜边AB的长即可，根据勾股定理可以求得AB的长；
（2）根据从一点到一直线垂线段线段的距离最短可知：从C点向AB作垂线，则CD的造价最低；根据三角形相似可以求得CD的长，AD的长；最后可以求得水渠的造价．
解答：解：（1）过点C作CD⊥AB于D，取AB的中点为E，连接CE，
根据勾股定理可知：AB===100，
由题意可知：E点是AB的中点，
根据直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半，
则CE=AB=×100=50；

（2）由题意可知：从一点到一直线垂线段线段的距离最短，
则从C点向AB作垂线，则CD的造价最低；
∵△ACB是直角三角形，CD⊥AB，
∴△ADC∽△ACB，
则，
即=，
可解得：AD=64，CD=48；
则最低造价=10×48=480元．
（可根据三角形面积相等解答AB•CD=AC•BC）
点评：本题考查直角三角形的中线中线的性质以及勾股定理的应用．