题目内容
已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且∠AOC=60°,点B的坐标是(0,8
(1)求∠AOB的度数及线段OA的长;
(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)当a=3,OD=

(4)当a为何值时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB相似?当a为何值时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB不相似?请给出你的结论,并加以证明.

【答案】分析:(1)已知了∠AOC的度数,根据菱形的性质即可得出∠AOB=30°,连接AC交BO于M,在直角三角形OAM中,OM=
OB,可根据OM的长和∠AOM的度数即可求出OA的长.
(2)同(1)在直角三角形OAM中可求出AM和OM的长,即可得出A点的坐标.根据菱形的对称性,可知A、C关于y轴对称,由此可得出C点的坐标,可用待定系数法求出抛物线的解析式.
(3)当a=3时,OQ=3t,BP=t,已知了OD的长,可求出BD的长,然后根据相似三角形BPD和OQD得出的关于BM,OM,BP,OQ的比例关系式,可求出t的值.即可按(2)的方法求出Q的坐标,用待定系数法可得出直线DQ的解析式.
(4)本题要分情况讨论:
①当△ODQ∽△OBA时,PQ∥AB,四边形AQPB是平行四边形,因此BP=AQ,可据此求出a的值.
②当△ODQ∽△OAB时,∠ODQ=∠OAB.分两种情况:
一:当P、B不重合时;二:当P、B重合时.
方法一样,和(3)类似,先根据相似三角形BPD和OQD求出OD的值,然后根据相似三角形OQD和OBA求出a的值.然后进行判断即可.
解答:
解:(1)因为四边形ABCO是菱形,∠AOC=60°,
所以∠AOB=30°.
连接AC交OB于M,则OM=
OB,AM⊥OB
所以AM=tan30°×OM=4.
所以,OA=AM÷sin30°=8,
(2)由(1)可知A(4,4
),B(0,8
),C(-4,4
)
设经过A、B、C三点的抛物线为y=ax2+c
所以16a+c=4
,c=8
,
∴a=-
所以经过A、B、C三点的抛物线为y=-
x2+8
(3)当a=3时,CP=t,OQ=3t,OD=
.
所以PB=8-t,BD=8
-
=
由△OQD∽△BPD得

即
,
所以t=
当t=
时,OQ=
.
同理可求Q(
,
)
设直线PQ的解析式为y=kx+b,则
k+b=
,b=
;
所以k=-
所以直线PQ的解析式为y=-
x+
.
(4)当a=1时,△ODQ∽△OBA;
当1<a<3时,以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不能相似;
当a=1时,△ODQ∽△OBA.
理由如下:
①若△ODQ∽△OBA,可得∠ODQ=∠OBA,此时PQ∥AB.
故四边形PCOQ为平行四边形,
所以CP=OQ
即at=t(0<t≤8).
所以a=1时,△ODQ∽△OBA
②若△ODQ∽△OAB
(I)如果P点不与B点重合,此时必有△PBD∽△QOD
所以
所以
,即
=
;
所以OD=
.
因为△ODQ∽△OAB,
所以
即
=
∴a=1+
.
∵0<t≤8,
∴a>3,不符合题意.即a>3时,以O、Q、D为顶点的三角形与△ABO不能相似;
(II)当P与B重合时,此时D点也与B点重合.
可知此时t=8.
由△ODQ∽△OAB得
.
所以OB2=OA×OQ.
即(8
)2=8×8a
所以a=3符合题意.
故当a=1时△ODQ∽△OAB.
点评:本题是点的运动性问题,考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点,综合性强,难度较高.

(2)同(1)在直角三角形OAM中可求出AM和OM的长,即可得出A点的坐标.根据菱形的对称性,可知A、C关于y轴对称,由此可得出C点的坐标,可用待定系数法求出抛物线的解析式.
(3)当a=3时,OQ=3t,BP=t,已知了OD的长,可求出BD的长,然后根据相似三角形BPD和OQD得出的关于BM,OM,BP,OQ的比例关系式,可求出t的值.即可按(2)的方法求出Q的坐标,用待定系数法可得出直线DQ的解析式.
(4)本题要分情况讨论:
①当△ODQ∽△OBA时,PQ∥AB,四边形AQPB是平行四边形,因此BP=AQ,可据此求出a的值.
②当△ODQ∽△OAB时,∠ODQ=∠OAB.分两种情况:
一:当P、B不重合时;二:当P、B重合时.
方法一样,和(3)类似,先根据相似三角形BPD和OQD求出OD的值,然后根据相似三角形OQD和OBA求出a的值.然后进行判断即可.
解答:

所以∠AOB=30°.
连接AC交OB于M,则OM=

所以AM=tan30°×OM=4.
所以,OA=AM÷sin30°=8,
(2)由(1)可知A(4,4



设经过A、B、C三点的抛物线为y=ax2+c
所以16a+c=4
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
∴a=-
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所以经过A、B、C三点的抛物线为y=-
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(3)当a=3时,CP=t,OQ=3t,OD=
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所以PB=8-t,BD=8
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由△OQD∽△BPD得
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即
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所以t=
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当t=
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同理可求Q(
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设直线PQ的解析式为y=kx+b,则
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所以k=-
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所以直线PQ的解析式为y=-
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(4)当a=1时,△ODQ∽△OBA;
当1<a<3时,以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不能相似;
当a=1时,△ODQ∽△OBA.
理由如下:
①若△ODQ∽△OBA,可得∠ODQ=∠OBA,此时PQ∥AB.
故四边形PCOQ为平行四边形,
所以CP=OQ
即at=t(0<t≤8).
所以a=1时,△ODQ∽△OBA
②若△ODQ∽△OAB
(I)如果P点不与B点重合,此时必有△PBD∽△QOD
所以
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所以
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所以OD=
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因为△ODQ∽△OAB,
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∴a=1+
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∵0<t≤8,
∴a>3,不符合题意.即a>3时,以O、Q、D为顶点的三角形与△ABO不能相似;
(II)当P与B重合时,此时D点也与B点重合.
可知此时t=8.
由△ODQ∽△OAB得
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所以OB2=OA×OQ.
即(8
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所以a=3符合题意.
故当a=1时△ODQ∽△OAB.
点评:本题是点的运动性问题,考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点,综合性强,难度较高.
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