Question

已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，连结OA、OB、OP，

（1）若∠AOP=60°，求∠OPB的度数；
（2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点，
①若∠COP=∠DOP，求证：AC=BD；
②连结CD，设△PCD的周长为l，若l=2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由。

Answer 1

解：（1）∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°
又∠AOP=60°　
∴∠APO=30°
由切线长定理知AP=BP，∠PBO=∠PAO=90°，OP=OP
∴△PAO≌△PBO（HL）
∴∠OPB=∠OPA=30°。
（2）①由（1）中知△PAO≌△PBO
∴∠POB=∠POA，
又∠COP=∠DOP
∴∠COA=∠DOB，
而∠CAO=∠DBO=90°，OA=OB
∴△AOC≌△BOD
∴AC=BD；
②CD与⊙O相切，设切点为E，
∵CD与⊙O相切，切点为E
∴CA=CE，BD=DE，
∴CD=AC+BD
∴AC+CP+BD+DP=AP+BP=2PA=l。