题目内容
【题目】已知点C为线段AB上一点,分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直线AE与BD交于点F
(1)如图1,若∠ACD=60゜,则∠AFB= ;
(2)如图2,若∠ACD=α,则∠AFB= (用含α的式子表示);
(3)将图2中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上),如图3.试探究∠AFB与α的数量关系,并予以证明.
【答案】(1)120°;(2) 180°―α;(3)见解析
【解析】试题分析:(1)求出∠ACE=∠DCB,证△ACE≌△DCB,推出∠CAE=∠CDB,求出∠AFB=∠CDA+∠DAC,根据三角形内角和定理求出即可;
(2)求出∠ACE=∠DCB,证△ACE≌△DCB,推出∠CAE=∠CDB,求出∠AFB=∠CDA+∠DAC,根据三角形内角和定理求出即可;
(3)求出∠ACE=∠DCB,证△ACE≌△DCB,推出∠CAE=∠CDB,求出∠AFB=∠CEB+∠CBE,根据三角形内角和定理求出即可.
试题解析:解:(1)∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,∴∠ACE=∠DCB,在△ACE和△DCB中
∴△ACE≌△DCB,∴∠CAE=∠CDB,∴∠AFB=∠CDB+∠CDA+∠DAE
=∠CDA+∠DAE+∠BAE
=∠CDA+∠DAC
=180°―60°
=120°;
(2)解:∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,∴∠ACE=∠DCB,在△ACE和△DCB中
∴△ACE≌△DCB,∴∠CAE=∠CDB,∴∠AFB=∠CDB+∠CDA+∠DAE
=∠CDA+∠DAE+∠BAE
=∠CDA+∠DAC
=180°―∠ACD
=180°―α;
(3)∠AFB=180-α,证明:∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,∴∠ACE=∠DCB,在△ACE和△DCB中
∴△ACE≌△DCB,∴∠AEC=∠DBC,∴∠AFB=∠AEC+∠CEB+∠EBD
=∠DBC+∠CEB+∠EBC
=∠CEB+∠EBC
=180°-∠ECB
=180°-α.