题目内容
已知抛物线
．
（1）求抛物线顶点M的坐标；
（2）若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线
∴顶点M的坐标为
． [来源:中.考.资.源.网]
（2）抛物线与
与x轴的两交点为A(-1,0) ，B（2，0）．
设线段BM所在直线的解析式为
．
∴
解得
∴线段BM所在直线的解析式为
．
设点N的坐标为
．∵点N在线段BM上，∴
. ∴
．
∴S四边形NQAC＝S△AOC＋S梯形OQNC
．
∴S与t之间的函数关系式为
，自变量t的取值范围为
．
（3）假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则
且
．
，
，
．
分以下几种情况讨论：
①若∠PAC＝90°，则
．∴
解得
， 
．∵ ．∴
．∴
．
②若∠PCA＝90°，则
．∴
解得
，
．∵，∴
．∴
．
当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．
∴存在符合条件的点P，且坐标为
，
．
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．