题目内容
如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8cm，CD＝2cm，AD＝6cm。点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）．设P、Q同时出发并运动了t秒。
（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
（2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值，若不存在，请说明理由。
（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
（2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值，若不存在，请说明理由。
解：（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图1。
∵ABCD是等腰梯形，∴四边形CDEF是矩形，
∴DE="CF"
又∵AD=BC，
又CD=2cm，AB=8cm，∴EF=CD=2cm
若四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形。
∵CQ=t，∴DQ=EP=2－t
（2）在Rt△ADE中，
当
时，
①如图2，若点Q在CD上，即0≤t≤2
则CQ=t，BP=8－2t
解之得t=3（舍去）
②如图3，若点Q在AD上，即2<t≤4
过点Q作HG⊥AB于G，交CD的延长线于H
由图1知，
，则∠A=60°
在Rt△AQG中，AQ=8－t，QG=AQ·sin60°
，
在Rt△QDH中，∠QDH=60°，DQ=t－2
由题意知，
即
，解之得
（不合题意，舍去），
答：存在
，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半。
∵ABCD是等腰梯形，∴四边形CDEF是矩形，
∴DE="CF"
又∵AD=BC，
又CD=2cm，AB=8cm，∴EF=CD=2cm
若四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形。
∵CQ=t，∴DQ=EP=2－t
（2）在Rt△ADE中，
当
时，①如图2，若点Q在CD上，即0≤t≤2
则CQ=t，BP=8－2t
解之得t=3（舍去）
②如图3，若点Q在AD上，即2<t≤4
过点Q作HG⊥AB于G，交CD的延长线于H
由图1知，
，则∠A=60°在Rt△AQG中，AQ=8－t，QG=AQ·sin60°
，在Rt△QDH中，∠QDH=60°，DQ=t－2
由题意知，
即
，解之得（不合题意，舍去）， 答：存在
，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半。（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，通过
，得
，若四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形，通过
，代入
值，即可求解
（2）假设当时，通过点Q在CD上或在AD上，两种情况进行讨论、求解
，得，若四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形，通过，代入值，即可求解（2）假设当
时，通过点Q在CD上或在AD上，两种情况进行讨论、求解
练习册系列答案
相关题目
中，
，
是
在
延长上，且
．求证：四边形
是等腰梯形．
；②
；③四边形AEFG是菱形；④BE＝2OG。
将平行四边形ABCD剪开，则得到的四边形
是（ ）
cm
cm