题目内容
【题目】如图，∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
(1)如图①，BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D.
①若∠BAO=60°，则∠D的大小为 度，
②猜想：∠D的度数是否随A、B的移动发生变化？请说明理由．
(2)如图②，若∠ABC=
∠ABN, ∠BAD=∠BAO，则∠D的大小为 度，若∠ABC=
∠ABN, ∠BAD=∠BAO，则∠D的大小为 度（用含n的代数式表示）．
【答案】（1）① 45，②否，理由见解析；（2）30°，
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【解析】
（1）①先求出∠ABN=150°，再根据角平分线得出∠CBA=
∠ABN=75°、∠BAD=∠BAO=30°，最后由外角性质可得∠D度数；
②设∠BAD=α，利用外角性质和角平分线性质求得∠ABC=45°+α，利用∠D=∠ABC-∠BAD可得答案；
（2）设∠BAD=α，得∠BAO=3α，继而求得∠ABN=90°+3α、∠ABC=30°+α，根据∠D=∠ABC-∠BAD可得答案；设∠BAD=β，分别求得∠BAO=nβ、∠ABN=∠AOB+∠BAO=90+nβ、∠ABC=+β，由∠D=∠ABC-∠BAD得出答案．
（1）①∵∠BAO=60°、∠MON=90°，
∴∠ABN=150°，
∵BC平分∠ABN、AD平分∠BAO，
∴∠CBA=∠ABN=75°，∠BAD=∠BAO=30°，
∴∠D=∠CBA-∠BAD=45°，
故答案为：45；
②∠D的度数不变．
理由：设∠BAD=α．
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2α．
∵∠ABN=∠AOB+∠BAO，
∴∠ABN =90°+2α．
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=∠ABN=(90°+2α) =45°+α．
∵∠D=∠ABC-∠BAD，
∴∠D =45°+α-α=45°．
（2）设∠BAD=α，
∵∠BAD=
∠BAO，
∴∠BAO=3α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+3α，
∵∠ABC=∠ABN，
∴∠ABC=30°+α，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=30°+α-α=30°，
设∠BAD=β，
∵∠BAD=
∠BAO，
∴∠BAO=nβ，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+nβ，
∵∠ABC=∠ABN，
∴∠ABC=+β，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=+β-β=.
