Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于点A，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知C点坐标为（6，0）．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间．问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？求出△PAC的最大面积；
（3）连接AB，过点B作AB的垂线交抛物线于点D，以点C为圆心的圆与抛物线的对称轴l相切，先补全图形，再判断直线BD与⊙C的位置关系并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线的顶点为（4，1），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣4）2+1．

∵抛物线经过点C（6，0），

∴0=a（6﹣4）2+1，解得a=﹣ ，
∴y=﹣ （x﹣4）2+1=﹣ x2+2x﹣3．

所以抛物线的解析式为y=﹣ x2+2x﹣3．

（2）解：如图1，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q，

∵A（0，﹣3），C（6，0），

∴直线AC解析式为y= x﹣3．

设P点坐标为（m，﹣ m2+2m﹣3），

则Q点的坐标为（m， m﹣3），

∴PQ=﹣ m2+2m﹣3﹣（ m﹣3）=﹣ m2+ m，

∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ= ×（﹣ m2+ m）×6=﹣ （m﹣3）2+ ，

∴当m=3时，△PAC的面积最大为 ．

∵当m=3时，﹣ m2+2m﹣3= ，

∴P点坐标为（3， ）．

综上：P点的位置是（3， ），△PAC的最大面积是 ．

（3）解：判断直线BD与⊙C相离．

证明：令﹣ （x﹣4）2+1=0，解得x1=2，x2=6，

∴B点坐标（2，0）．

又∵抛物线交y轴于点A，

∴A点坐标为（0，﹣3），

∴AB= ．

设⊙C与对称轴l相切于点F，则⊙C的半径CF=2，

作CE⊥BD于点E，如图2，则∠BEC=∠AOB=90°．

∵∠ABD=90°，

∴∠CBE=90°﹣∠ABO．

又∵∠BAO=90°﹣∠ABO，

∴∠BAO=∠CBE．

∴△AOB∽△BEC，

∴ ，

∴ ，

∴CE= ＞2．

∴直线BD与⊙C相离．

【解析】（1）由于本题告诉了抛物线的顶点，故设顶点式，然后又把点C的坐标代入即可求出二次项系数a的值，从而得出函数解析式；
（2）如图1，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q，由A,C两点的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，根据抛物线上点的坐标特点设出P点的坐标，进而表示出Q点的坐标，从而表示出PQ的长度，根据S△PAC=S△PAQ+S△PCQ，建立出函数关系式，并化为顶点式知当m=3时，△PAC的面积最大，然后把m=3代入P点的坐标表达式，从而得出P点的坐标；
（3）判断直线BD与⊙C相离．首先找到B、A点的坐标，根据勾股定理得出AB的长，设⊙C与对称轴l相切于点F，则⊙C的半径CF=2，作CE⊥BD于点E，如图2，则∠BEC=∠AOB=90°，然后根据同角的余角相等得出∠BAO=∠CBE，进而判断出△AOB∽△BEC，根据相似三角形的性质得性质得出CE的长从而根据直线与圆的位置关系作出判断即可。
【考点精析】掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．