题目内容

如图所示，已知抛物y=ax²+bx+c与x轴负半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB= $数学公式$ ，CB= $数学公式$ ，∠CAO=30°，求抛物线的解析式和它的顶点坐标．

解：连BC，如图，

∵OB= $\text{[math]}$ ，CB= $\text{[math]}$ ，
∴OC= $\text{[math]}$ =3，
∴B点坐标为（- $\text{[math]}$ ，0），C点坐标为（0，3）
在Rt△AOC中，∠CAO=30°，
∴OA= $\text{[math]}$ OC=3 $\text{[math]}$ ，
∴A点坐标为（-3 $\text{[math]}$ ，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+3 $\text{[math]}$ ）（x+ $\text{[math]}$ ），
把C（0，3）代入得a（0+3 $\text{[math]}$ ）（0+ $\text{[math]}$ ）=3，
∴a= $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ （x+3 $\text{[math]}$ ）（x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ x+3；
∵y= $\text{[math]}$ （x+2 $\text{[math]}$ ）²-1，
∴抛物线的顶点坐标为（-2 $\text{[math]}$ ，-1）．
分析：先根据勾股定理得到OC=3，则B点坐标为（- $\text{[math]}$ ，0），C点坐标为（0，3），利用含30°的直角三角形三边的关系得到OA= $\text{[math]}$ OC=3 $\text{[math]}$ ，则A点坐标为（-3 $\text{[math]}$ ，0），然后设抛物线的交点式为y=a（x+3 $\text{[math]}$ ）（x+ $\text{[math]}$ ），把C（0，3）代入可求得a= $\text{[math]}$ ，则抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ （x+3 $\text{[math]}$ ）（x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ x+3；然后配成顶点式为y= $\text{[math]}$ （x+2 $\text{[math]}$ ）²，-1，即可得到抛物线的顶点坐标为（-2 $\text{[math]}$ ，-1）．
点评：本题考查了抛物线的交点式：若抛物线与x轴的交点坐标为（x₁，0）、（x₂，0），则抛物线的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂）．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及抛物线的顶点式．