题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,直线MN经过点C,过点A作直线MN的垂线,垂足为点D,且∠BAC=∠CAD.
(1)求证:直线MN是⊙O的切线;
(2)若CD=3,∠CAD=30°,求⊙O的半径.
【答案】
(1)
证明:连接OC,
因为OA=OC,
所以∠BAC=∠ACO.
因为AC平分∠BAD,
所以∠BAC=∠CAD,
故∠ACO=∠CAD.
所以OC∥AD,
又已知AD丄MN,
所以OC丄MN,
所以,直线MN是⊙O的切线
(2)
解:已知AB是⊙O的直径,则∠ACB=90°,
又AD丄MN,
则∠ADC=90°.
因为CD=3,∠CAD=30°,
所以AD=3 ,AB=6
在Rt△ABC和Rt△ACD中,∠BAC=∠CAD,
所以Rt△ABC∽Rt△ACD,
则 ,
则AB=4 ,
所以⊙O的半径为2
【解析】(1)连接OC,推出AD∥OC,推出OC⊥MN,根据切线的判定推出即可;(2)求出AD、AC长,证△ADC∽△ACB,得出比例式,代入求出AB长即可.本题考查了切线的判定,等腰三角形的判定和性质,平行线性质,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行线的性质的相关知识,掌握两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补,以及对切线的判定定理的理解,了解切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
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