Question

【题目】在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，连接CE．

（1）如图1，当点P在菱形ABCD内部时，则BP与CE的数量关系是　 　，CE与AD的位置关系是　 　．

（2）如图2，当点P在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图2，连接BE，若AB＝2，BE＝2，求AP的长．

Answer 1

【答案】（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3）2

【解析】

（1）由菱形ABCD和∠ABC=60°可证△ABC与△ACD是等边三角形，由等边△APE可得AP=AE，∠PAE=∠BAC=60°，减去公共角∠PAC得∠BAP=∠CAE，根据SAS可证得△BAP≌△CAE，故有BP=CE，∠ABP=∠ACE．由菱形对角线平分一组对角可证∠ABP=30°，故∠ACE=30°即CE平分∠ACD，由AC=CD等腰三角形三线合一可得CE⊥AD．

（2）结论不变．证明过程同（1）．

（3）在Rt△AOP中，求出OA，OP即可解决问题．

（1）BP=CE，CE⊥AD．

理由：∵菱形ABCD中，∠ABC=60°

∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°

∴△ABC、△ACD是等边三角形

∴AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60°

∵△APE是等边三角形

∴AP=AE，∠PAE=60°

∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC

即∠BAP=∠CAE，

∴△BAP≌△CAE（SAS）

∴BP=CE，∠ABP=∠ACE

∵BD平分∠ABC

∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30°

∴CE平分∠ACD

∴CE⊥AD．

故答案为BP=CE，CE⊥AD．

（2）结论仍然成立．理由如下：如图，设CE交AD于H，连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°．

∵△APE是等边三角形，

∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°．

∴△BAP≌△CAE．

∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°．

∵∠CAH=60°，

∴∠CAH+∠ACH=90°．

∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．

（3）如图，连接BE，

由（2）可知CE⊥AD，BP= CE．

在菱形ABCD中，AD∥BC，∴CE⊥BC．

∵BC=AB=2，BE=2，

在Rt△BCE中，CE==8．

∴BP=CE=8．

∵AC与BD是菱形的对角线，

∴∠ABD=∠ABC=30°，AC⊥BD．

∴OA=AB=，BO==3，

OP=BP－BO=5，

在Rt△AOP中，AP==2，