Question

在△ABC中，H为垂心，M为BC上的中点，AD为BC上的高，且AD=BC（AC＞AB）．求证：HD+HM=MC．

Answer 1

分析：根据题意作辅助线，根据垂心的定义及已知条件得出△ABD∽△CHD，设AD=BC=1，BD=x，则CD=1-x，根据三角形相似对应边成比例的性质得出DH，根据勾股定理分别得出HD+HM及MC，从而得出结论．

解答： 解：连CH，
∵H为垂心，
∴CH⊥AB
又∵AD⊥BC，
∴△ABD∽△CHD，
设AD=BC=1，BD=x，则CD=1-x，DM=

1

2

-x，
∵

AD

BD

=

CD

DH

，

AD

x

=

BC-x

DH

，
∴DH=（1-x）x，
HM²=DH²+DM²=[（1-x）x]²+(

1

2

-x)2
=[x(1-x)-

1

2

]2
∵AC＞AB，BD=x＜

1

2

∴x（1-x）=x-x²=-(x-

1

2

)2+

1

4

＜

1

4

，
∴HM=-x（1-x）+

1

2

HD+HM=（1-x）x-x（1-x）+

1

2

=

1

2

=

BC

2

=CM，
∴HD+HM=CM．

点评：本题主要考查了垂心的性质，相似三角形的判断及对应边成比例的性质、勾股定理的应用，比较综合，难度较大．