Question

已知：如图，△ABC中，点E在中线BD上，∠DAE=∠ABD．
求证：（1）AD²=DE•DB； 
      （2）∠DEC=∠ACB．

Answer 1

分析：（1）由∠DAE=∠ABD，∠ADE=∠BDA，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ADE∽△BDA，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得AD²=DE•DB；
（2）由点E在中线BD上，可得

DC

BD

=

DE

DC

，又由∠CDE=∠BDC，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得△CDE∽△BDC，继而证得∠DEC=∠ACB．

解答：证明：（1）∵∠DAE=∠ABD，∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA．（2分）
∴

AD

BD

=

DE

AD

，（2分） 
即AD²=DE•DB．（1分）

（2）∵D是AC边上的中点，
∴AD=DC．
∵

AD

BD

=

DE

AD

，
∴

DC

BD

=

DE

DC

，（2分）
又∵∠CDE=∠BDC．（1分）
∴△CDE∽△BDC．（2分）
∴∠DEC=∠ACB．（2分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．