题目内容

我们把弧长等于半径的扇形叫等边扇形.如图,扇形OAB是等边扇形,设OA=R,下列结论中:①∠AOB=60°;②扇形的周长为3R;③扇形的面积为;④点A与半径OB中点的连线垂直OB;⑤设OA、OB的垂直平分线交于点P,以P为圆心,PA为半径作圆,则该圆一定会经过扇形的弧AB的中点.其中正确的个数为( )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】分析:根据弧长的计算公式判断①错误;
根据扇形的周长定义判断②正确;
根据S扇形=lR(其中l为扇形的弧长)判断③正确;
先由等边扇形的定义得出AB<OA,再根据等腰三角形三线合一的性质得出AM与OB不垂直,判断④错误;
由线段垂直平分线的性质及三角形两边之和大于第三边得出OP=PA>OA,又OA=OC,OP+PC=OC,则PC<OC<OP=AP,即PC<圆P的半径,判断⑤错误.
解答:解:①设∠AOB=n°,
∵OA=OB==R,
∴R=
∴n=<60,故①错误;

②扇形的周长为:OA+OB+=R+R+R=3R,故②正确;

③扇形的面积为:•OA=R•R=,故③正确;

④如图,设半径OB的中点为M,连接AM.
∵OA=OB==R,
∴AB<R=OA,
∵OM=MB,
∴AM与OB不垂直,故④错误;

⑤如图,设弧AB的中点为C.
∵OP=PA>OA,
∵OA=OC,
∴OP>OC,
∵OP+PC=OC,
∴PC<OC<OP=AP,
即PC<圆P的半径,
∴以P为圆心,PA为半径作圆,则该圆一定不会经过扇形的弧AB的中点C.
故选B.
点评:本题考查了弧长的计算,扇形的周长与面积,等腰三角形、线段垂直平分线的性质,三角形三边关系定理,三点共圆的条件,综合性较强,难度适中.
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