Question

如图，已知：点A（3，0），B（0，4）分别是x轴，y轴上的点，动点P和Q分别从原点出发，沿x轴，y轴正方向运动，速度分别是2个单位长度/秒和1单位长度/秒，设运动时间为t秒，当1.5＜t＜4时，连接PQ交直线AB于点C，过点Q作QD∥BA交x轴正方向于点D．
（1）求AB的长度；
（2）试证明QD=DP；
（3）当以O，A，C为顶点的三角形是等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△BOA中，由勾股定理求出即可；
（2）根据平行线性质得出∠QDO=∠BAO，即sin∠QDO=sin∠BAO，得出

OQ

QD

=

BO

AB

，求出QD=

5

4

t，同理OD=

3

4

t，求出DP，即可得出答案；
（3）过C作CM⊥OA于M，求出AC=AP=2t-3，根据解直角扇形求出AM、CM，OM，分为三种情况①OC=AC，②OC=AO，③OA=AC，代入求出即可．

解答：解：（1）在Rt△BOA中，BO=4，AO=3，由勾股定理得：AB=

32+42

=5；

（2）∵QD∥AB，
∴∠QDO=∠BAO，
∴sin∠QDO=sin∠BAO，
∴

OQ

QD

=

BO

AB

，
∴

t

QD

=

4

5

，
∴QD=

5

4

t，
同理OD=

3

4

t，
∴DP=2t-

3

4

t=

5

4

t，
∴QD=DP；

（3）过C作CM⊥OA于M，
∵QD∥AC，
∴∠ACP=∠DQP，
∵DQ=DP，
∴∠CPA=∠DQP，
∴∠APC=∠ACP，
∴AC=AP=2t-3，
∵sin∠CAM=

CM

AC

=

4

5

，cos∠CAM=

AM

AC

=

3

5

，
∴CM=

4

5

（2t-3），AM=

3

5

（2t-3），
∴OM=3-

3

5

（2t-3）=

24

5

-

6

5

t，
分为三种情况：①AC=OA，
2t-3=3，
t=3；
②OC=AC，
（

24

5

-

6

5

t）²+[

4

5

（2t-3）]²=（2t-3）²
解得：t=

11

4

，
③OC=OA，
（

24

5

-

6

5

t）²+[

4

5

（2t-3）]²=3²，
解得：t₁=1.5，t₂=3.3，
∵1.5＜t＜4，
∴t₁=1.5舍去，
即t的值是3或

11

4

或3.3．

点评：本题考查了等腰三角形的判定，平行线性质，解直角三角形的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．