题目内容

一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:

如图,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BO⊥AC,于点O,点PD分别在AO和BC上,PB=PD,DE⊥AC于点E,求证:△BPO≌△PDE.

(1)理清思路,完成解答(2)本题证明的思路可用下列框图表示:

根据上述思路,请你完整地书写本题的证明过程.

(2)特殊位置,证明结论

若PB平分∠ABO,其余条件不变.求证:AP=CD.

(3)知识迁移,探索新知

若点P是一个动点,点P运动到OC的中点P′时,满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′,请直接写出CD′与AP′的数量关系.(不必写解答过程)

考点:

全等三角形的判定与性质.

分析:

(1)求出∠3=∠4,∠BOP=∠PED=90°,根据AAS证△BPO≌△PDE即可;

(2)求出∠ABP=∠4,求出△ABP≌△CPD,即可得出答案;

(3)设OP=CP=x,求出AP=3x,CD=x,即可得出答案.

解答:

(1)证明:∵PB=PD,

∴∠2=∠PBD,

∵AB=BC,∠ABC=90°,

∴∠C=45°,

∵BO⊥AC,

∴∠1=45°,

∴∠1=∠C=45°,

∵∠3=∠PBO﹣∠1,∠4=∠2﹣∠C,

∴∠3=∠4,

∵BO⊥AC,DE⊥AC,

∴∠BOP=∠PED=90°,

在△BPO和△PDE中

∴△BPO≌△PDE(AAS);

(2)证明:由(1)可得:∠3=∠4,

∵BP平分∠ABO,

∴∠ABP=∠3,

∴∠ABP=∠4,

在△ABP和△CPD中

∴△ABP≌△CPD(AAS),

∴AP=CD.

(3)解:CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′.

理由是:设OP=PC=x,则AO=OC=2x=BO,

则AP=2x+x=3x,

由(2)知BO=PE,

PE=2x,CE=2x﹣x=x,

∵∠E=90°,∠ECD=∠ACB=45°,

∴DE=x,由勾股定理得:CD=x,

即AP=3x,CD=x,

∴CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′

点评:

本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰直角三角形性质,等腰三角形性质等知识点的综合应用,主要考查学生的推理和计算能力.

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