Question

如图在直角坐标系XOY中，抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3），顶点为M．
（1）求A、B两点间的距离；
（2）求顶点M的坐标；
（3）求四边形OBMC的面积；
（4）在x轴下方且在抛物线上有一动点D，求四边形OBDC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）将点C的坐标代入到二次函数的解析式后然后求得点A和点B的坐标即可求得A、B之间的距离；
（2）利用配方法确定二次函数的顶点坐标即可；
（3）将四边形的面积分成两个直角三角形和一个梯形的面积即可求解；
（4）设点D的坐标为（x，x²-2x-3），根据四边形的面积分解成直角三角形和梯形的面积得到有关x的二次函数即可求得最大面积．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²-2x+k与y轴交于点C（0，-3），
∴-3=K
∴解析式为y=x²-2x-3，
令y=0，得：x²-2x-3=0，解得：x=-1或x=3，
∴A点的坐标为：（-1，0），B点的坐标为（3，0），
∴A、B两点之间的距离为4；

（2）∵y=x²-2x-3=x²-2x+1-4=（x-1）²-4，
∴顶点M的坐标为（1，-4）；

（3）如图，作MD⊥AB于点D，连接MC、MB，
则S四边形OCMB=S_梯形OCMD+S_三角形DMB=

1

2

（OC+MD）•OD+

1

2

DB•MD=

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4=7.5；

（4）如图，作DE⊥AB于点E，
∵点D在抛物线上，
∴设点D的坐标为（x，x²-2x-3），
∴S_{四边形OBDC}=

1

2

（OC+DE）×OE+

1

2

EB•ED=

1

2

[3-（x²-2x-3）]•x+

1

2

（3-x）（-x²+2x+3）=-

3

2

（x-

3

2

）²+

63

8

；
∴有最大面积是

63

8

．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中在坐标系中求四边形的面积可以转化为两个直角三角形和一个直角梯形的面积去计算，本题难度中等．