Question

如图在直角坐标系xOy中，A、B是x轴上两点，以AB为直径的圆与y轴交于点C，设A、B、C的抛物线的解析式为y=

1

6

x2-mx+n且方程

1

6

x2-mx+n=0的两根的倒数和为

5

36

．
（1）求n的值；
（2）求m的值和A、B、C三点的坐标；
（3）点P、Q分别从A、O两点同时出发，以相同的速度沿AB、OC向B、C运动，连接PQ并延长，与BC交于点M，设AP=k，问是否存在这样的k值，使以P、B、M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式可知：C点坐标应为（0，n），那么OC=-n；由于AB是⊙O的直径，则AC⊥BC，在Rt△ABC中，根据射影定理即可得到关于n的方程，由此可求出n的值；
（2）设出A、B的坐标，根据根与系数的关系及已知方程的两根的倒数和即可求出m的值，进而可求出A、B的坐标；而C的坐标在（1）中已经求得；
（3）所求的两个三角形中，已知的相等角有：∠PBM=∠ABC，若两个三角形相似只有两种可能：
①∠BPM=∠BAC，此时PM∥AC，可根据相似三角形得到的比例线段求出k的值；
②∠BPM=∠BCA，在（1）中已经证得∠BCA=90°，所以无论P、Q在何位置，这两个三角形都不相似．

解答：解：（1）设A（x₁，0），B（x₂，0），其中x₁＜0，x₂＞0，则OA=-x₁，OB=x₂，OC=-n．
∵AB是直径，OC⊥AB，∴OC²=OA•OB，即n²=-x₁x₂；
又x₁x₂=6n，∴n²=-6n，∴n₁=-6，n₂=0（舍去），∴n的值为-6；

（2）∵

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

5

36

，
x₁+x₂=6m，x₁x₂=-6n，
∴

6m

-6n

=

5

36

，∴m=-

5

6

故抛物线的解析式为y=

1

6

x2+

5

6

x-6；
A、B、C的坐标为A（-9，0）、B（4，0）、C（0，-6）；

（3）如图（见原题）所示，当∠BPM=∠BAC，或当∠BPM=∠BCA时，以P、B、M为顶点的三角形与△ABC相似；
当∠BPM=∠BAC时，PM∥AC；此时

OP

OA

=

OQ

OC

，∴

9-k

9

=

k

6

，k=3.6．
∵∠ACB=90°
而∠BPM＜∠AOC=90°，∴无论P、Q在何位置，都有∠BPM≠∠BCA；
故只有当k=3.6时，△PBM∽△ABC．

点评：此题是二次函数的综合题，考查的知识点有：一元二次方程根与系数的关系、圆周角定理、二次函数解析式的确定、相似三角形的判定等知识；要注意的是（3）题在不确定相似三角形的对应边和对应角的情况下要分类讨论，以免漏解．