Question

如图，在正方形ABCD中，BC=12，∠EBF=45°，若EF=10，则CF的长为（　　）

• A、6
• B、8
• C、4或8
• D、4或6

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：把△BCF顺时针旋转90°得到△ABH，根据旋转的性质可得BF=BH，CF=AH，∠CBF=∠ABH，然后求出∠EBH=∠EBF=45°，再利用“边角边”证明△BEF和△BEH全等，根据全等三角形对应边相等可得EH=EF，设CF=x，表示出DF、DE，然后在Rt△DEF中利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：解：如图，把△BCF顺时针旋转90°得到△ABH，
则BF=BH，CF=AH，∠CBF=∠ABH，
∵∠EBF=45°，
∴∠EBH=∠EBA+∠ABH=∠EBA+∠EBF=90°-45°=45°，
∴∠EBH=∠EBF=45°，
在△BEF和△BEH中，

BF=BH ∠EBH=∠EBF BE=BE

，
∴△BEF≌△BEH（SAS），
∴EH=EF=10，
设CF=x，
∵BC=12，EF=10，
∴DF=12-x，
DE=AD-AE=12-（10-x）=2+x，
在Rt△DEF中，DF²+DE²=EF²，
即（12-x）²+（2+x）²=10²，
整理得，x²-10x+24=0，
解得x₁=4，x₂=6，
故，CF的长为4或6．
故选D．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．