Question

已知，矩形ABCD 中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF 分别交AD、BC于点E、F，垂足为O。
(1)如图1，连接AF、CE，求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；    
(2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中：    
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边是平行四边形时，求t的值；
③若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b 满足的数量关系式.

Answer 1

解：(1)证明：
①∵四边形ABCD是矩形，   
∴AD//BC.     
∴∠CAD=∠ACB,  ∠AEF=∠CFE,    
∵EF垂直平分AC，垂足为O，  
∴OA=OC，    
∴△AOE全等△COF，    
∴OE= OF，    
∴四边形AFCE为平行四边形，    
又∵EF⊥AC，    
∴四边形AFCE为菱形.   
 ②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=(8-x)cm，    
在Rt△ABF中，AB=4cm，    
由勾股定理得：4²+ (8-x)² =x²，
解得：x=5
∴ AF=5 cm-    
(2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上
此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形。
∴以 A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时.PC=QA.     
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t 秒，  
 ∴PC=5t ，QA= 12-4t.  
∴5t= 12-4t，
解得：
∴以 A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时
   
 ②由题意得，以 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，点 P、Q在互相平行的对应边上，分三种情况：   
i）如图1，当P点在AF 上、Q点在CE上时.AP= CQ，即a= 12 - b ,得a + b= 12.  
ii）如图2，当P点在BF 上、Q点在DE上时.AQ= CP，即12 - b= a , 得a+ b= 12.   
iii）如图3，当P点在AB 上、Q点在CD上时.AP= CQ，即12-a--=b,得 a+b=12.    
综上所述，a 与b 满足的数量关系式是a十b=12(ab≠0).