Question

如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．
（1）求证：AE∥CF；
（2）若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,平行线的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）先根据AB∥CD得出∠BAC=∠DCA，再由∠BAE=∠DCF可知∠EAM=∠FCM，故可得出结论；
（2）先由AM平分∠FAE得出∠FAM=∠EAM，再根据∠EAM=∠FAM可知∠FAM=∠FCM，故△FAC是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论．

解答：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
又∵∠BAE=∠DCF，
∴∠EAM=∠FCM，
∴AE∥CF；

（2）证明：∵AM平分∠FAE，
∴∠FAM=∠EAM，
又∵∠EAM=∠FAM，
∴∠FAM=∠FCM，
∴△FAC是等腰三角形，
又∵AM=CM，
∴FM⊥AC，即EF垂直平分AC．

点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．