题目内容
(2007•莱芜)在平面直角坐标系中,△AOB的位置如图所示,已知∠AOB=90°,AO=BO,点A的坐标为(-3,1).(1)求点B的坐标;
(2)求过A,O,B三点的抛物线的解析式;
(3)设抛物线的对称轴为直线l,P是直线l上的一点,且△PAB的面积等于△AOB的面积,求点P的坐标.
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【答案】分析:(1)作AC⊥x轴,垂足为C,作BD⊥x轴,垂足为D,易证△ACO≌△ODB,就可以求出OD,BD的长,可以得到B点的坐标.
(2)已知A,O,B三点的坐标,利用待定系数法,就可以求出抛物线的解析式.
(3)△PAB的面积等于△AOB的面积,则P点到AB的距离等于O到AB的距离,即△AOB AB边上的高线长.则过点O作AB的平行线,与抛物线的对称轴的交点,以及这点关于F的对称点就是所求的点.
解答:解:(1)作AC⊥x轴,垂足为C,作BD⊥x轴,垂足为D.
则∠ACO=∠ODB=90°,
∴∠AOC+∠OAC=90度.
又∵∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,
∴∠OAC=∠BOD.(1分)
又∵AO=BO,
∴△ACO≌△ODB.(2分)
∴OD=AC=1,DB=OC=3.
∴点B的坐标为(1,3).(4分)
(2)因抛物线过原点,
故设所求抛物线的解析式为:y=ax2+bx.
将A(-3,1),B(1,3)两点代入得,
,
解得
;
.(6分)
故所求抛物线的解析式为:
.(8分)
(3)设直线AB的方程为y=kx+b1,那么有:
,
解得
.
故直线AB的方程为:
.
∴
.(9分)
抛物线
的对称轴l的方程是:
,
,
解得
.
∴F点坐标为
.(10分)
∵l∥y轴,△PAB的面积等于△ABO的面积,
∴P点到直线AB的距离等于O点到AB的距离.
即OG=P1H=P2M(P点有两种情况).
则过原点O与AB平行的直线的解析式是y=
x.
函数y=
x与抛物线的交点坐标是即
,
而P1关于F点的对称点
.也是满足条件的点.
点评:本题利用了全等三角形的性质,以及待定系数法求函数的解析式.
(2)已知A,O,B三点的坐标,利用待定系数法,就可以求出抛物线的解析式.
(3)△PAB的面积等于△AOB的面积,则P点到AB的距离等于O到AB的距离,即△AOB AB边上的高线长.则过点O作AB的平行线,与抛物线的对称轴的交点,以及这点关于F的对称点就是所求的点.
解答:解:(1)作AC⊥x轴,垂足为C,作BD⊥x轴,垂足为D.
则∠ACO=∠ODB=90°,
∴∠AOC+∠OAC=90度.
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又∵∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,
∴∠OAC=∠BOD.(1分)
又∵AO=BO,
∴△ACO≌△ODB.(2分)
∴OD=AC=1,DB=OC=3.
∴点B的坐标为(1,3).(4分)
(2)因抛物线过原点,
故设所求抛物线的解析式为:y=ax2+bx.
将A(-3,1),B(1,3)两点代入得,
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解得
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故所求抛物线的解析式为:
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(3)设直线AB的方程为y=kx+b1,那么有:
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解得
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故直线AB的方程为:
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∴
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抛物线
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解得
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∴F点坐标为
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∵l∥y轴,△PAB的面积等于△ABO的面积,
∴P点到直线AB的距离等于O点到AB的距离.
即OG=P1H=P2M(P点有两种情况).
则过原点O与AB平行的直线的解析式是y=
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函数y=
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而P1关于F点的对称点
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点评:本题利用了全等三角形的性质,以及待定系数法求函数的解析式.
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