题目内容
【题目】如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）
（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；
（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．
【答案】（1）DM⊥FM，DM=FM，证明见解析；
（2）DM⊥FM，DM=FM．
【解析】
试题分析：（1）连接DF，NF，由四边形ABCD和CGEF是正方形，得到AD∥BC，BC∥GE，于是得到AD∥GE，求得∠DAM=∠NEM，证得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，证出△DFN是等腰直角三角形，即可得到结论；
（2）连接DF，NF，由四边形ABCD是正方形，得到AD∥BC，由点E、B、C在同一条直线上，于是得到AD∥CN，求得∠DAM=∠NEM，证得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，证出△DFN是等腰直角三角形，于是结论得到．
试题解析：（1）如图2，DM=FM，DM⊥FM，
证明：连接DF，NF，
∵四边形ABCD和CGEF是正方形，
∴AD∥BC，BC∥GE，
∴AD∥GE，
∴∠DAM=∠NEM，
∵M是AE的中点，
∴AM=EM，
在△MAD与△MEN中，
，∴△MAD≌△MEN，∴DM=MN，AD=EN，
∵AD=CD，∴CD=NE，∵CF=EF，∠DCF=∠DCB=90°，
在△DCF与△NEF中，
，∴△MAD≌△MEN，∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，
∵∠EFN+∠NFC=90°，∴∠DFC+∠CFN=90°，∴∠DFN=90°，
∴DM⊥FM，DM=FM
（2）猜想：DM⊥FM，DM=FM，
证明如下：如图3，连接DF，NF，连接DF，NF，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∵点E、B、C在同一条直线上，
∴AD∥CN，∴∠ADN=∠MNE，
在△MAD与△MEN中，
，
∴△MAD≌△MEN，∴DM=MN，AD=EN，∵AD=CD，∴CD=NE，∵CF=EF，∵∠DCF=90°+45°=135°，∠NEF=180°﹣45°=135°，∴∠DCF=∠NEF，
在△DCF与△NEF中，
，∴△MAD≌△MEN，∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，
∵∠CFD+∠EFD=90°，∴∠NFE+∠EFD=90°，∴∠DFN=90°，
∴DM⊥FM，DM=FM．
