题目内容
已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+3(1)证明抛物线顶点一定在直线y=-x+3上;
(2)若抛物线与x轴交于M、N两点,当OM•ON=3,且OM≠ON时,求抛物线的解析式;
(3)若(2)中所求抛物线顶点为C,与y轴交点在原点上方,抛物线的对称轴与x轴交于点B,直线y=-x+3与x轴交于点A.点P为抛物线对称轴上一动点,过点P作PD⊥AC,垂足D在线段AC上.试问:是否存在点P,使S△PAD=
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分析:(1)先根据抛物线的解析式,用配方法得出抛物线顶点的表达式,然后代入直线y=-x+3中即可得出所证的结论.
(2)已知:OM•ON=3,根据一元二次方程根与系数的关系可知:方程0=-x2+2mx-m2-m+3中,m2-m+3=±3,据此可求出m的值,然后可根据OM≠ON和方程的△>0将不合题意的m值舍去,由此可求出抛物线的解析式.
(3)可先根据抛物线和直线AC的解析式求出A、C点的坐标.进而可求出AC的长.可先设PD的长为x,那么可用x表示出CD,AD的长,进而可表示出△APD的面积,根据S△PAD=
S△ABC,即可得出x的值,也就能求出CD、PD的长,进而可求出CP的长,也就不难得出P点的坐标了.
(2)已知:OM•ON=3,根据一元二次方程根与系数的关系可知:方程0=-x2+2mx-m2-m+3中,m2-m+3=±3,据此可求出m的值,然后可根据OM≠ON和方程的△>0将不合题意的m值舍去,由此可求出抛物线的解析式.
(3)可先根据抛物线和直线AC的解析式求出A、C点的坐标.进而可求出AC的长.可先设PD的长为x,那么可用x表示出CD,AD的长,进而可表示出△APD的面积,根据S△PAD=
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解答:解:(1)y=-x2+2mx-m2-m+3=-(x-m)2-m+3,
∴顶点坐标为(m,-m+3),
∴顶点在直线y=-x+3上.
(2)∵抛物线与x轴交于M、N两点,
∴△>0,
即:(2m)2-4(m2+m-3)>0,
解得:m<3,
∵OM•ON=3,
∴m2+m-3=±3,
当m2+m-3=-3时,m2+m=0,
∴m=0,m=-1,
∴当m=0时,y1=-x2+3(与OM≠ON矛盾,舍),
∴m=-1,y1=-x2-2x+3,
当m2+m-3=3时,m2+m-6=0,
∴m=2,m=-3,
∴y2=-x2+4x-3,y3=-x2-6x-3.
(3)∵抛物线与y轴交点在原点的上方
∴y=-x2-2x+3,
∴C(-1,4),B(-1,0),
∵直线y=-x+3与x轴交于点A,
∴A(3,0),
∵BA=BC,
∴∠PCD=45°,
∴设PD=DC=x,
则PC=
x,AD=4
-x,
∵S△PAD=
S△ABC,
∴
(4
-x)•x=
×
×4×4,x2-4
x+4=0;
解得:x=2
±2;
当x=2
+2时,PC=
x=4+2
,
∴4-yP=4+2
,
∴yP=-2
,
∴P(-1,-2
),
当x=2
-2时,PC=4-2
,
∴yP=2
,
∴P(-1,2
),
∴P(-1,2
)或P(-1,-2
).
∴顶点坐标为(m,-m+3),
∴顶点在直线y=-x+3上.
(2)∵抛物线与x轴交于M、N两点,
∴△>0,
即:(2m)2-4(m2+m-3)>0,
解得:m<3,
∵OM•ON=3,
∴m2+m-3=±3,
当m2+m-3=-3时,m2+m=0,
∴m=0,m=-1,
∴当m=0时,y1=-x2+3(与OM≠ON矛盾,舍),
∴m=-1,y1=-x2-2x+3,
当m2+m-3=3时,m2+m-6=0,
∴m=2,m=-3,
∴y2=-x2+4x-3,y3=-x2-6x-3.
(3)∵抛物线与y轴交点在原点的上方
∴y=-x2-2x+3,
∴C(-1,4),B(-1,0),
∵直线y=-x+3与x轴交于点A,
∴A(3,0),
∵BA=BC,
∴∠PCD=45°,
∴设PD=DC=x,
则PC=
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∵S△PAD=
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解得:x=2
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当x=2
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∴4-yP=4+2
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∴yP=-2
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∴P(-1,-2
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当x=2
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∴yP=2
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∴P(-1,2
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∴P(-1,2
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点评:本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系,一元二次方程根与系数的关系,二次函数解析式的确定,图形面积的求法等知识点.考查学生数形结合的数学思想方法.
练习册系列答案
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已知抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上,则c等于( )
A、4 | B、8 | C、-4 | D、16 |