题目内容

【题目】如图,已知直线x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线

x轴交于AB两点(AB的左侧),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)M是上述抛物线上一点,如果ABMABC相似,求点M的坐标;

(3)连接AC,求顶点DEFGABC各边上的矩形DEFC面积最大时,写出该矩形在AB边上的顶点的坐标.

【答案】(1);(2)M(3,-2);(3)D(,0)D(-,0)、E(2,0)

【解析】试题分析:(1)先求得直线x轴交于点By轴交于点C的坐标再把点B的坐标代入,求得b值,即可得抛物线的解析式;(2)先判定△ABC为直角三角形当△ABM和△ABC相似时,一定有∠AMB=90° ,△BAM≌△ABC,即可得点M的坐标;(3)分矩形DEFG有两个顶点D、EAB上和矩形一个顶点在AB上两种情况求点的坐标.

试题解析:

(1) 由题意:直线x轴交于点B(4,0),

y轴交于点CC(0,-2),

将点B(4,0)代入抛物线易得

∴所求抛物线解析式为:

(2) , ∴△ABC为直角三角形,∠BCA=90°

∵点M是上述抛物线上一点∴不可能有MBAB或者MAAB垂直

ABMABC相似时,一定有∠AMB=90° BAMABC

此时点M的坐标为:M(3,-2)

(3)∵△ABC为直角三角形,

BCA=90°

当矩形DEFG只有顶点D

AB上时,显然点F与点

C重合时面积最大,如图1,

CGx

DGBC∴△AGD∽△ACB.

AGACDGBC,即DG=2(x)

S矩形DEFG=-2(x) x时矩形DEFG的面积有最大值 (2-x).

S矩形DEFGx· (2-x)=- (x-1)2,即当x=1时矩形DEFG的面积同样有最大值

综上所述,无论矩形DEFG有两个顶点或只有一个顶点在AB上,其最大面积相同

当矩形一个顶点在AB上时, GD=2(x)=AG

ADODADOAD(,0).

当矩形DEFG有两个顶点DEAB上时,∵DG=1, DE

DGOC∴△ADG∽△AOCADAODGOC,解得AD

ODOE=2, D(-,0),E(2,0).

综上所述,满足题意的矩形在AB边上的顶点的坐标为D(,0)D(-,0)、E(2,0) .

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网