题目内容
【题目】如图,已知直线与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线
与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是上述抛物线上一点,如果△ABM和△ABC相似,求点M的坐标;
(3)连接AC,求顶点D、E、F、G在△ABC各边上的矩形DEFC面积最大时,写出该矩形在AB边上的顶点的坐标.
【答案】(1);(2)M(3,-2);(3)D(,0)或D(-,0)、E(2,0)
【解析】试题分析:(1)先求得直线与x轴交于点B与y轴交于点C的坐标,再把点B的坐标代入,求得b值,即可得抛物线的解析式;(2)先判定△ABC为直角三角形,当△ABM和△ABC相似时,一定有∠AMB=90° ,△BAM≌△ABC,即可得点M的坐标;(3)分矩形DEFG有两个顶点D、E在AB上和矩形一个顶点在AB上两种情况求点的坐标.
试题解析:
(1) 由题意:直线与x轴交于点B(4,0),
与y轴交于点C点C(0,-2),
将点B(4,0)代入抛物线易得
∴所求抛物线解析式为:
(2) ∵, ∴△ABC为直角三角形,∠BCA=90°
∵点M是上述抛物线上一点∴不可能有MB与AB或者MA与AB垂直
当△ABM和△ABC相似时,一定有∠AMB=90° △BAM≌△ABC
此时点M的坐标为:M(3,-2)
(3)∵△ABC为直角三角形,
∠BCA=90°
当矩形DEFG只有顶点D
在AB上时,显然点F与点
C重合时面积最大,如图1,
设CG=x,
∵DG∥BC,∴△AGD∽△ACB.
∴AG:AC=DG∶BC,即∴DG=2(-x)
∴S矩形DEFG=-2(x-)+ 即x=时矩形DEFG的面积有最大值 (2-x).
∴S矩形DEFG=x· (2-x)=- (x-1)2+,即当x=1时矩形DEFG的面积同样有最大值,
综上所述,无论矩形DEFG有两个顶点或只有一个顶点在AB上,其最大面积相同
当矩形一个顶点在AB上时, GD=2(-x)=,AG=,
∴AD=, OD=AD-OA=, ∴D(,0).
当矩形DEFG有两个顶点D、E在AB上时,∵DG=1, ∴DE=,
∵DG∥OC,∴△ADG∽△AOC,∴AD∶AO=DG∶OC,解得AD=,
∴OD=, OE=-=2, ∴D(-,0),E(2,0).
综上所述,满足题意的矩形在AB边上的顶点的坐标为D(,0)或D(-,0)、E(2,0) .