题目内容
【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0).
(1)求b、c.
(2)如图1,在第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得三角形BCD的面积最大?若存在,求出D点坐标,求出三角形BCD的面积最大值;若不存在,请说明理由.
(3)如图2,抛物线的对称轴与抛物线交于点P,与直线BC相交于点M,连接PB.问在直线BC下方的抛物线上是否存在否存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)(,),;(3)Q1(,),Q2(,-)
【解析】
试题分析:(1)把A(-1,0)、B(3,0)两点代入y=-x2+bx+c,即可求出抛物线的解析式;
(2)设D点坐标为(t,-t2+2t+3),过点D作DH⊥x轴于H,根据=-t2+t,再利用配方法即可求出D点坐标及△BCD面积的最大值;
(3)设PM与x轴交于点E,求出过点E与BC平行的直线EQ解析式为y=﹣x+1,解方程组,即可得出点Q的坐标.
试题解析:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)如图1,设D点坐标为(t,﹣t2+2t+3),过点D作DH⊥x轴于H,
则=(﹣t2+2t+3+3)t+(3﹣t)(﹣t2+2t+3)﹣×3×3
=﹣t2+t
=﹣(t﹣)2+,
∵﹣<0,
∴当t=时,D点坐标是(,),△BCD面积的最大值是;
(3)如图2,设PM与x轴交于点E,
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴P点的坐标为(1,4),E点的坐标为(1,0).
∵B(3,0),C(0,3),
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,
∴当x=1时,y=2,
∴M点的坐标为(1,2),
∴PM=ME=2,BM为△BPE的中线,
∴.
过E作BC的平行线,交抛物线于点Q,则,
∴.
∵E(1,0),直线BC的解析式为y=﹣x+3,EQ∥BC,
∴直线EQ的解析式为y=﹣x+1.
由,
解得,或,
∴点Q的坐标为Q1(,),Q2(,﹣),
∴在直线BC下方的抛物线上存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等,此时点Q的坐标为Q1(,),Q2(,﹣).