题目内容

【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0).

(1)求b、c.

(2)如图1,在第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得三角形BCD的面积最大?若存在,求出D点坐标,求出三角形BCD的面积最大值;若不存在,请说明理由.

(3)如图2,抛物线的对称轴与抛物线交于点P,与直线BC相交于点M,连接PB.问在直线BC下方的抛物线上是否存在否存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)),(3)Q1),Q2-

【解析】

试题分析:(1)把A(-1,0)、B(3,0)两点代入y=-x2+bx+c,即可求出抛物线的解析式;

(2)设D点坐标为(t,-t2+2t+3),过点D作DH⊥x轴于H,根据=-t2+t,再利用配方法即可求出D点坐标及△BCD面积的最大值;

(3)设PM与x轴交于点E,求出过点E与BC平行的直线EQ解析式为y=﹣x+1,解方程组,即可得出点Q的坐标.

试题解析:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),

解得

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;

(2)如图1,设D点坐标为(t,﹣t2+2t+3),过点D作DH⊥x轴于H,

=(﹣t2+2t+3+3)t+(3﹣t)(﹣t2+2t+3)﹣×3×3

=﹣t2+t

=﹣(t﹣2+

∵﹣<0,

∴当t=时,D点坐标是(),△BCD面积的最大值是

(3)如图2,设PM与x轴交于点E,

∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

∴P点的坐标为(1,4),E点的坐标为(1,0).

∵B(3,0),C(0,3),

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,

∴当x=1时,y=2,

∴M点的坐标为(1,2),

∴PM=ME=2,BM为△BPE的中线,

过E作BC的平行线,交抛物线于点Q,则

∵E(1,0),直线BC的解析式为y=﹣x+3,EQ∥BC,

∴直线EQ的解析式为y=﹣x+1.

解得,或

∴点Q的坐标为Q1),Q2,﹣),

∴在直线BC下方的抛物线上存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等,此时点Q的坐标为Q1),Q2,﹣).

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