题目内容
如图,直角梯形OABC中,AB∥OC,O为坐标原点,点A在y轴正半轴上,点C在x轴正半轴上,点B坐标为(2,23 |
(1)求OH的长;
(2)若△OPQ的面积为S(平方单位).求S与t之间的函数关系式.并求t为何值时,△OPQ的面积最大,最大值是多少;
(3)设PQ与OB交于点M.
①当△OPM为等腰三角形时,求(2)中S的值.
②探究线段OM长度的最大值是多少,直接写出结论.
分析:(1)由图知图形很特殊,利用直线的平行关系,求出直角,在直角三角形中解题,从而求出OH的长;
(2)由几何关系求出P点坐标,将△OPQ的面积为S用t来表示,转化为求函数最值问题;
(3)思维要严密,△OPM为等腰三角形时,要分三种情况来讨论;最后一问求出M点坐标,同样转化为函数最值问题.
(2)由几何关系求出P点坐标,将△OPQ的面积为S用t来表示,转化为求函数最值问题;
(3)思维要严密,△OPM为等腰三角形时,要分三种情况来讨论;最后一问求出M点坐标,同样转化为函数最值问题.
解答:解:(1)∵AB∥OC
∴∠OAB=∠AOC=90°
在Rt△OAB中,AB=2,AO=2
∴OB=4,tan∠ABO=
,
∴∠ABO=60°,
∵AB∥OC
∴∠BOC=60°
又∵∠BCO=60°
∴△BOC为等边三角形
∴OH=OBcos30°=4×
=2
;
(2)∵OP=OH-PH=2
-t
∴xp=OPcos30°=3-
t,
yp=OPsin30°=
-
t.
∴S=
•OQ•xp=
•t•(3-
t)
=-
t2+
t(0<t<2
)
即S=-
(t-
)2+
∴当t=
时,S最大=
;
(3)①若△OPM为等腰三角形,则:
(i)若OM=PM,∠MPO=∠MOP=∠POC
∴PQ∥OC
∴OQ=yp即t=
-
解得:t=
此时S=-
×(
)2+
×
=
(ii)若OP=OM,∠OPM=∠OMP=75°,∴∠OQP=45°
过P点作PE⊥OA,垂足为E,则有:EQ=EP
即t-(
-
t)=3-
t
解得:t=2
此时S=-
×22+
×2=3-
(iii)若OP=PM,∠POM=∠PMO=∠AOB,∴PQ∥OA
此时Q在AB上,不满足题意.
②线段OM长的最大值为
.
∴∠OAB=∠AOC=90°
在Rt△OAB中,AB=2,AO=2
3 |
∴OB=4,tan∠ABO=
3 |
∴∠ABO=60°,
∵AB∥OC
∴∠BOC=60°
又∵∠BCO=60°
∴△BOC为等边三角形
∴OH=OBcos30°=4×
| ||
2 |
3 |
(2)∵OP=OH-PH=2
3 |
∴xp=OPcos30°=3-
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2 |
yp=OPsin30°=
3 |
1 |
2 |
∴S=
1 |
2 |
1 |
2 |
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2 |
=-
| ||
4 |
3 |
2 |
3 |
即S=-
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4 |
3 |
3
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4 |
∴当t=
3 |
3
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4 |
(3)①若△OPM为等腰三角形,则:
(i)若OM=PM,∠MPO=∠MOP=∠POC
∴PQ∥OC
∴OQ=yp即t=
3 |
t |
2 |
解得:t=
2
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3 |
此时S=-
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4 |
2
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3 |
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2 |
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3 |
2
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3 |
(ii)若OP=OM,∠OPM=∠OMP=75°,∴∠OQP=45°
过P点作PE⊥OA,垂足为E,则有:EQ=EP
即t-(
3 |
1 |
2 |
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2 |
解得:t=2
此时S=-
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4 |
3 |
2 |
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(iii)若OP=PM,∠POM=∠PMO=∠AOB,∴PQ∥OA
此时Q在AB上,不满足题意.
②线段OM长的最大值为
3 |
2 |
点评:此题是一道动态型压轴题,融函数、数形结合,分类讨论等重要数学思想于其中的综合题,考查的知识主要有:直线形、解直角三角形、函数等重点知识,此题计算较易,但对学生的能力要求较高,解题时要切实把握几何图形的运动过程,用运动、发展、全面的观点分析图形,采取“动中求静,静中求动”的解题策略,才能作出正确的解答.该题综合性强、灵活性大、区分度高,是今后中考命题的抢眼题型,要引起我们今后教学的高度关注.
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