题目内容

【题目】在等边△ABC中

(1)如图1,P,Q是BC边上的两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数;

(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与点B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM

①依题意将图2补全;

②小茹通过观察、实验提出猜想:在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM,小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:

想法1:要证明PA=PM,只需证△APM是等边三角形;

想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证明PA=PM,只需证△ANP≌△PCM;

想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK…

请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM(一种方法即可)

【答案】(1)40°;(2)作图见解析;证明见解析

【解析】

试题分析:(1)根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP,由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC,根据三角形外角的性质即可得到结论;

(2)根据要求作出图形,如图2

根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP,由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC,由点Q关于直线AC的对称点为M,得到AQ=AM,∠OAC=∠MAC,等量代换得到∠MAC=∠BAP,推出△APM是等边三角形,根据等边三角形的性质即可得到结论.

试题解析:(1)∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP,∴∠APB=∠AQC,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠BAP=∠CAQ=20°,∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=60°﹣20°﹣20°=20°,∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=40°;

(2)如图2

∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP,∴∠APB=∠AQC,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠BAP=∠CAQ,∵点Q关于直线AC的对称点为M,∴AQ=AM,∠QAC=∠MAC,∴∠MAC=∠BAP,∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°,∴∠PAM=60°,∵AP=AQ,∴AP=AM,∴△APM是等边三角形,∴AP=PM.

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