Question

正方形ABCD的面积为32，点E是平面内一点，且△AEB是等腰直角三角形，则△AEB的面积是________

Answer 1

8或16
分析：已知点E是平面内一点，而没有指明点E与正方形的位置关系，故应该分情况进行分析，从而确定在不同的情况下△AEB的面积．当点E在正方形的内部时，点E正好为正方形对角线的交点，从而可求得△AEB的面积为正方形面积的四分之一；当点E位于正方形的外部且为直角顶点时，可推出其面积仍为正方形面积的四分之一；当点A或B为直角顶点时，可求得其面积是正方形面积的一半．
解答：∵点E是平面内一点
∴点E存在三种位置关系：在正方形的内部，在正方形的外部，在正方形上．
①当点E在正方形的内部时：
∵△AEB是等腰直角三角形．
∴点E为正方形的重心．
∴△AEB的面积是正方形ABCD面积的四分之一．
∵正方形ABCD的面积为32．
∴S_△AEB=×32=8．
②点E在正方形的外部时：
（1）点E为直角顶点时，其面积为：S_△AEB=×32=8．
（2）点E不是直角顶点时，其面积为：S_△AEB=×32=16．
③当点A或点B为直角顶点时：
∵△AEB是等腰直角三角形．
∴△AEB的面积是正方形ABCD面积的二分之一．
∵正方形ABCD的面积为32．
∴S_△AEB=×32=16．
∴△AEB的面积是8或16．
故答案为8或16．
点评：此题主要考查学生对正方形的性质及等腰直角三角形的性质的理解及运用能力．