Question

若关于x的一元二次方程m²x²-（2m-3）x+1=0的两实数根为x₁、x₂，且x₁+x₂=

2m-3

m2

，x₁•x₂=

1

m2

，两实数根的倒数和是S．
求：（1）m的取值范围；（2）S的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为一元二次方程m²x²-（2m-3）x+1=0的两实数根，所以△≥0，又因为此方程为一元二次方程，二次项系数不能为零．
（2）先用代数式表示两实数根的倒数和，然后将此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，再用m的取值范围确定S的取值范围．

解答：解：（1）∵b²-4ac=-12m+9≥0，
∴m≤

3

4

，
又∵m²≠0，
∴m≤

3

4

且m≠0；

（2）S=

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=2m-3
∴m=

S+3

2

，
即

S+3

2

≤

3

4

，
∴S≤-

3

2

，
又∵m≠0即

S+3

2

≠0，
∴S≠-3
∴S≤-

3

2

且S≠-3．

点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
易错易混点：很多学生很容易根据△≥0来确定m的取值范围，而疏忽了二次项系数不能为零的条件．