Question

如图9，等边边长为4，是边上动点，于H，过作∥，交线段于点，在线段上取点，使．设．

（1）请直接写出图中与线段相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；

（2）是线段上的动点，当四边形是平行四边形时，求的面积（用含的代数式表示）；

（3）当（2）中 的面积最大时，以E为圆心，为半径作圆，根据⊙E与此时四条边交点的总个数，求相应的取值范围．

Answer 1

解：（１）ＢＥ、ＰＥ、BF三条线段中任选两条．………………………2分

　   （２）在Ｒt△ＣHＥ中，∠CHE＝9０°　∠Ｃ＝６０°，

∴ＥH＝

∵PQ＝EF＝BE＝4－x

∴．……………………5分

（３）

∴当x＝２时，有最大值．

此时E、F、P分别为△ABC三边BC、AB、AC的中点，且点C、 点Q重合

∴平行四边形EFPQ是菱形．

过Ｅ点作ＥD⊥ＦＰ于D，

∴ＥD＝ＥH＝．

∴当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是２个时，０＜r＜；

当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是４个时，r＝；  

当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是６个时，＜r＜２；

当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是３个时，r＝２时；

当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是０个时，r＞２时．

…………………………………………………………12分

易错分析：本题在分类中,容易把⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数分不清楚，容易出现交点数多或少的漏洞.