Question

（2012•淮北模拟）如图中阴影部分的面积与函数y=-x2+2x+

1

2

的最大值相同的是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：先把y=-x²+2x+

1

2

配成y=-（x-1）²+1，得到y的最大值为

3

2

；在选项A中，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，AD=AE=1，可证△ADB≌△AEC，则S_阴影部分=S_{正方形ADOE}=1；在B选项中，先确定A点坐标，则可得到S_阴影部分=S_△OAB=

1

2

×1×3=

3

2

；在C选项中，先确定A（0，-1），B（-1，0），C（1，0），则S_阴影部分=S_△ABC=

1

2

×2×1=1；在D选项中，利用k的几何意义得到S_阴影部分=S_△OAB=

1

2

×2=1．

解答：解：y=-x²+2x+

1

2

=-（x-1）²+

3

2

，
∵a=-1，
∴y有最大值，其最大值为

3

2

，
A、如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，
AD=AE=1，可证△ADB≌△AEC，
∴S_阴影部分=S_{正方形ADOE}=1，所以A选项错误；
B、∵当x=1时，y=3，
∴A点坐标为（1，3），
∴S_阴影部分=S_△OAB=

1

2

×1×3=

3

2

，所以B选项正确；
C、A（0，-1），令y=0，则x²-1=0，解得x=±1，
则B点坐标为（-1，0），C点坐标为（1，0），
∴S_阴影部分=S_△ABC=

1

2

×2×1=1，所以C选项错误；
D、S_阴影部分=S_△OAB=

1

2

×2=1，所以D选项错误．
故选B．

点评：本题考查了二次函数综合题：二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，其顶点式为y=a（x-

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，当a＞0，y_最小值=

4ac-b2

4a

；当a＜0，y_最，大值=

4ac-b2

4a

；对于一次函数和反比例函数的性质要熟练掌握．