题目内容

(2012•淮北模拟)已知反比例函数y=
k
x
(k>0)
的图象与一次函数y=-x+6相交与第一象限的A、B两点,如图所示,过A、B两点分别做x、y轴的垂线,线段AC、BD相交与P,给出以下结论:
①OA=OB;②△OAM∽△OBN;③若△ABP的面积是8,则k=5;④P点一定在直线y=x上,
其中正确命题的个数是(  )个.
分析:①先求出直线y=-x+6与两坐标轴的交点坐标可得出△OEF是等腰直角三角形,故E、F两点关于直线y=x对称,再由反比例函数的图象关于直线y=x对称可知A、B两点关于直线y=x对称,故可得出y=x是线段AB的垂直平分线,由此即可得出结论;
②根据A、B两点关于直线y=x对称,AM⊥y轴,BN⊥x轴可知AM=BM,再由①知OA=OB,所以△OAM≌△OBN,故△OAM∽△OBN;
③设A(x,6-x),则B(6-x,x),P(x,6-2x),再由三角形的面积公式求出x的值,故可得出A点坐标,再根据点A在反比例函数的图象上即可求出反比例函数的解析式;
④根据点A、B关于直线y=x对称可知,OM=ON,再由AM⊥y轴,AC⊥x轴,BD⊥y轴,BN⊥x轴可知,四边形AMOC与四边形BDON均是矩形,由②知AM=BN,故OC=OD,所以AP=PB,所以点P在线段AB的垂直平分线上,所以点P在直线y=x上.
解答:解:①∵令x=0,则y=6,令y=0,则x=6,
∴E(0,6),F(6,0),
∴E、F两点关于直线y=x对称,
∵反比例函数的图象关于直线y=x对称,
∴A、B两点关于直线y=x对称,
∴y=x是线段AB的垂直平分线,
∴OA=OB,故①正确;
②∵A、B两点关于直线y=x对称,AM⊥y轴,BN⊥x轴,
∴AM=BN,
∵由①知OA=OB,
∴△OAM≌△OBN,
∴△OAM∽△OBN,故②正确;
③设A(x,6-x),
∵A、B两点关于直线y=x对称,
∴B(6-x,x),P(x,6-2x),
∵△ABP的面积是8,
∴S△ABP=
1
2
PB•AP=
1
2
(6-2x)(6-2x)=8,解得x=1或x=5,
∵当x=1时,6-x=5,∴A(1,5);
当x=5时,6-x=1,∴A(5,1);
∵点A在反比例函数y=
k
x
的图象上,
∴k=1×5=5,故③正确;
④∵点A、B关于直线y=x对称,
∴OM=ON,
∵AM⊥y轴,AC⊥x轴,BD⊥y轴,BN⊥x轴,
∴四边形AMOC与四边形BDON均是矩形,
∵由②知AM=BN,
∴OC=OD,
∴AP=PB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上,
∴点P在直线y=x上,故④正确.
故选D.
点评:本题考查的是反比例函数综合题,熟知关于直线y=x对称的点的坐标特点是解答此题的关键.
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