题目内容

我们容易发现:反比例函数的图象是一个中心对称图形,你可以利用这一结论解决问题。
如图,在同一直角坐标系中,正比例函数的图象可以看作是:将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形,若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点B,D,已知点A(-m,0)、C(m,0)。
(1)直接判断并填写:不论α取何值,四边形ABCD的形状一定是_______;
(2)①当点B为(p,1)时,四边形ABCD是矩形,试求p,α,和m的值;
②观察猜想:对①中的m值,能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个?(不必说理)
(3)试探究:四边形ABCD能不能是菱形?若能,直接写出B点的坐标,若不能,说明理由。
解:(1)平行四边形;
(2)①∵点B(p,1)在的图象上,


过B作BE⊥x轴于E,则,BE=1,
在Rt△BOE中,,α=30°,
∴OB=2,
又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点,
∴点B、D关于原点O成中心对称,
∴OB=OD=,
∵四边形ABCD为矩形,且A(-m,0),C(m,0) 

∴m=2;
②能使四边形为ABCD矩形的点B共有2个;
(3)四边形ABCD不能是菱形,
∵点A、C的坐标分别为(-m,0)、(m,0)
∴四边形ABCD的对角线AB在x轴上,
又∵点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点,
∴对角线AC与BD不可能垂直,
∴四边形ABCD不能是菱形。
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