题目内容
【题目】已知AB∥CD,解决下列问题:
(1)如图①,写出∠ABE、∠CDE和∠E之间的数量关系: ;
(2)如图②,BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE,若∠E=100°,求∠P的度数;
(3)如图③,若∠ABP=∠ABE,∠CDP=
∠CDE,试写出∠P与∠E的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)∠ABE+∠CDE+∠E=360°;(2)130°;(3)∠P+∠E=120°,理由见解析
【解析】
(1)猜想得到三角之间的关系,验证即可;
(2)根据得出三角关系,以及角平分线定义求出四边形PBED中的三个角,进而利用四边形内角和求出所求角的度数即可;
(3)依此类推确定出两角关系,验证即可.
(1)根据题意得:∠ABE+∠CDE+∠E=180°,理由如下:
过E作EF∥AB,
∴∠FEB+∠EBA=180°,
∵CD∥AB,EF∥AB,
∴CD∥EF,
∴∠CDE+∠DEF=180°,
∴∠CDE+∠DEB+∠ABE=360°,
故答案为:∠ABE+∠CDE+∠E=360°;
(2)∵BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE,
∴∠EDP=∠CDE,∠EBP=
∠ABE,即∠CDE=2∠EDP,∠ABE=2∠EBP,
代入(1)的等式得:2∠EBP+2∠EDP+∠E=360°,
∵∠E=100°,
∴∠EBP+∠EDP=180°﹣∠E=130°,
在四边形PBED中,∠P=360°﹣(∠EBP+∠EDP+∠E)=360°﹣(130°+100°)=130°;
(3)∠P与∠E的数量关系为:∠P+∠E=120°,理由如下:
∵∠ABP=∠ABE,∠CDP=
∠CDE,
∴∠CDE=3∠CDP=1.5∠EDP,∠ABE=3∠ABP=1.5∠EBP,
代入(1)的等式得:1.5∠EBP+1.5∠EDP+∠E=360°,
∴∠EBP+∠EDP=240°﹣∠E,
在四边形PBED中,∠P+∠EBP+∠EDP+∠E=360°,
∴∠P+240°﹣ ∠E+∠E=360°,即∠P+
∠E=120°.
