Question

如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
（2）作图：在△BED中作BD边上的高，垂足为F；
（3）若△ABC的面积为60，BD=6，则△BDE中BD边上的高为多少？（请写出解题的必要过程）
（4）过点E作EG∥BC，交AC于点G，连接EC、DG且相交于点O，若S_△ABC=m，S_△COD=n，求S_△EOD（用含m、n的代数式表示）

Answer 1

分析：（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；
（2）过E作BC边的垂线即可；
（3）过A作BC边的垂线AG，再根据三角形中位线定理求解即可；
（4）由平行和三角形的中线的性质可得S_△BDE=S_△CDE=

1

2

S_△ABD=

1

4

S_△ABC，从而求得S_△EOD．

解答：解：（1）∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°；

（2）过E作BC边的垂线，F为垂足，则EF为所求；

（3）过A作BC边的垂线AG，
∵AD为△ABC的中线，BD=6，
∴BC=2BD=2×6=12，
∵△ABC的面积为60，
∴

1

2

BC•AG=46，即

1

2

×12AG=60，解得AG=10，
∵EF⊥BC于F，
∴EF∥AG，
∵E为AD的中点，
∴EF是△AGD的中位线，
∴EF=

1

2

AG=

1

2

×10=5；

（4）∵EG∥BC，AD为△ABC的中线，
∴S_△BDE=S_△CDE=

1

2

S_△ABD=

1

4

S_△ABC=

1

4

m，
∴S_△EOD=S_△CDE-S_△COD=

1

4

m-n．

点评：本题涉及到三角形外角的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，同时考查了三角形的中线将三角形分成两个三角形，它们的面积等于原三角形面积的一半的知识，涉及面较广，但难度适中．