题目内容
【题目】已知：在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是某函数图象上任意两点（x1＜x2），将函数图象中x＜x1的部分沿直线y＝y1作轴对称，x＞x2的部分沿直线y＝y2作轴对称，与原函数图象中x1≤x≤x2的部分组成了一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于点A、B的“双对称函数”．例如：如图①，点A（﹣2，﹣1）、B（1，2）是一次函数y＝x+1图象上的两个点，则函数y＝x+1关于点A、B的“双对称函数”的图象如图②所示．
（1）点A（t，y1）、B（t+3，y2）是函数y＝
图象上的两点，y＝关于点A、B的“双对称函数”的图象记作G，若G是中心对称图形，直接写出t的值．
（2）点P（
，y1），Q（+t，y2）是二次函数y＝（x﹣t）2+2t图象上的两点，该二次函数关于点P、Q的“双对称函数”记作f．
①求P、Q两点的坐标（用含t的代数式表示）．
②当t＝﹣2时，求出函数f的解析式；
③若﹣1≤x≤1时，函数f的最小值为ymin，求﹣2≤ymin≤﹣1时，t的取值范围．
【答案】（1）t＝
；（2）①P（
，t2+t+
），Q（+t，2t+）；②y＝
；③﹣
≤t≤
或
≤t≤
【解析】
（1）根据定义、反比例函数图象性质和中心对称性质即可求出t；
（2）①直接代入计算即可；②新函数是分段函数，自变量x的范围分为x＜或≤x≤或x＞，二次函数图象翻折后开口方向与原来相反，顶点与原来顶点关于对称轴对称，可以先求新顶点；③分t≤-1，-1＜t＜0，t≥0进行讨论．
解：（1）如图1，
设点A（t，
），A′（t+3，
），
∵G是中心对称图形，由反比例函数图象的中心对称性质可知：A与A′关于原点成中心对称，
∴t+t+3＝0，解得：t＝；
（2）①y1＝
+2t＝t2+t+，y2＝
+2t＝2t+
∴P（，t2+t+），Q（+t，2t+），
②当t＝﹣2时，y＝（x+2）2﹣4，P（，
），Q（，
），根据“双对称函数”定义可知：
新图象f由x＜时抛物线y＝（x+2）2﹣4沿直线y＝翻折所得图象、x＞时抛物线y＝（x+2）2﹣4沿直线y＝翻折所得图象及≤x≤时抛物线y＝（x+2）2﹣4三个部分组成，
∴当t＝﹣2时，函数f的解析式为：y＝
③∵当﹣1≤x≤1时，函数f的最小值为ymin，且﹣2≤ymin≤﹣1，
若t＜0，该二次函数关于点P、Q的“双对称函数”为：y＝
，
当t≤﹣1时，点Q始终是“双对称函数”在﹣1≤x≤1的最低点，由﹣2≤2t+≤﹣1，∴
≤t≤
，故≤t≤﹣1
当﹣1＜t＜0时，将x＝﹣1代入得y＝﹣（﹣1﹣t）2+2t+＝﹣t2
，由﹣2≤﹣t2≤﹣1，解得：
≤t≤，∴﹣1≤t≤
当t≥0时，由﹣2≤﹣（﹣1﹣t）2+2t2+≤﹣1，可解得：≤t≤，
综上所述，t的取值范围为：﹣≤t≤或≤t≤，
