Question

已知：如图，AB为圆O的弦，过点D作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径等于4，tan∠ACB=，求CD的长。

Answer 1

解：（1）直线BD与⊙O相切， 证明：如图，连接OB ∵∠OCB=∠CBD+∠D，∠1=∠D， ∴∠2=∠CBD， ∵AB∥OC， ∴∠2=∠A， ∴∠A=∠CBD， ∵OB=OC， ∴∠BOC+2∠3=180°， ∵∠BOC=2∠A， ∴∠A+∠3=90°， ∴∠CBD+∠3=90°， ∴∠OBD=90°， ∴直线B与⊙O相切；
（2）∵∠D=∠ACB·tan∠ACB=4/3， ∴tanD=4/3， 在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB=4，tanD=4/3， ∴sinD=4/5，OD==5 ∴CD=OD-OC=1。